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复变函数课后习题答案习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数
(1)
(2)
(3)
(4)解
(1),因此,
(2),因此,,
(3),因此,,
(4)因此,,2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)3.求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)4.设试用三角形式表示与解,所以,5.解下列方程
(1)
(2)解
(1)由此,
(2),当时,对应的4个根分别为6.证明下列各题
(1)设则证明首先,显然有;其次,因固此有从而
(2)对任意复数有证明验证即可,首先左端,而右端,由此,左端=右端,即原式成立
(3)若是实系数代数方程的一个根,那么也是它的一个根证明方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,,由此得到由此说明若为实系数代数方程的一个根,则也是结论得证
(4)若则皆有证明根据已知条件,有,因此,证毕
(5)若,则有证明,,因为,所以,,因而,即,结论得证7.设试写出使达到最大的的表达式,其中为正整数,为复数解首先,由复数的三角不等式有,在上面两个不等式都取等号时达到最大,为此,需要取与同向且,即应为的单位化向量,由此,,8.试用来表述使这三个点共线的条件解要使三点共线,那么用向量表示时,与应平行,因而二者应同向或反向,即幅角应相差或的整数倍,再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍,至此得到三个点共线的条件是为实数9.写出过两点的直线的复参数方程解过两点的直线的实参数方程为,因而,复参数方程为其中为实参数10.下列参数方程表示什么曲线?(其中为实参数)
(1)
(2)
(3)解只需化为实参数方程即可
(1),因而表示直线
(2),因而表示椭圆
(3),因而表示双曲线11.证明复平面上的圆周方程可表示为,其中为复常数,为实常数证明圆周的实方程可表示为,代入,并注意到,由此,,得记,则,由此得到,结论得证12.证明幅角主值函数在原点及负实轴上不连续证明首先,在原点无定义,因而不连续...。