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文本内容:
1.5定积分的概念学习目标知识与技能
1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景;
2.借助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分法求简单的定积分.
3.理解掌握定积分的几何意义和性质;过程与方法通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法情感态度与价值观通过分割、逼近的观点体会定积分的来历,从本质上理解定积分的几何意义,从而激发学习数学的兴趣学习重点定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义.学习难点定积分的概念、定积分的几何意义.学习过程问题曲边梯形的面积例如求图中阴影部分是由抛物线,直线以及轴所围成的平面图形的面积S解
(1).分割在区间上等间隔地插入个点,将区间等分成个小区间,,…,记第个区间为,其长度为分别过上述个分点作轴的垂线,从而得到个小曲边梯形,他们的面积分别记作,,…,显然,
(2)近似代替记,如图所示,当很大,即很小时,在区间上,可以认为函数的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点处的函数值,从图形上看,就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图).这样,在区间上,用小矩形的面积近似的代替,即在局部范围内“以直代曲”,则有
①
(3)求和由
①,上图中阴影部分的面积为====从而得到的近似值=
(4)取极限分别将区间等分8,16,20,…等份(如图),可以看到,当趋向于无穷大时,即趋向于0时,趋向于,从而有事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限☆定积分的概念一般地,设函数在区间上连续,用分点将区间等分成个小区间在每个小区间上取一点作和式当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分记为,即=其中函数叫做,叫做变量,叫做,区间为区间,叫做积分,叫做积分说明
(1)定积分是一个常数;
(2)用定义求定积分的一般方法是
①分割等分区间;
②近似代替取点;
③求和;
④取极限;
(3)曲边图形面积;变速运动路程.根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质性质1(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质)...。