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相似三角形——“一线三等角型”
1、知识梳理一线三等角两个等角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上,角的两边(或两边所在直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在直线)相交,此时通过证明,一般都可以得到一组相似三角形,该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形.(图1)(图2)
(1)如图1,已知三角形ABC中,AB=AC∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有;
(2)如图2,已知三角形ABC中,AB=AC∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有.
二、【例题解析】【例1】如图,等边△ABC中,边长为4,D是BC上动点,∠EDF=60°,
(1)求证△BDE∽△CFD;
(2)当BD=1,FC=时,求BE.【变式1】在边长为4的等边中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且保持,连接EF.1已知BE=1DF=2,求DE的值;2求证∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边中,若BD=1时,当△DEF与△AEF相似,求BE的值.【变式3】如图,已知边长为3的等边,点F在边BC上,CF=1,点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边,直线EG,FG交直线AC于点M,N,
(1)写出图中与相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设BE=x,MN=y,,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.【例2】在中,是AB上的一点,且,点P是AC上的一个动点,交线段BC于点Q(不与点BC重合),已知AP=2,求CQ.【变式1】如图,在△ABC中,,,是边上的一个动点,点在边上,且.1求证△ABD∽△DCE;2如果,,求与的函数解析式,并写出自变量的定义域;3当点是的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.【变式2】在直角三角形ABC中,是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点(与A,C不重合),与射线BC相交于点F.1如图1,当点D是边AB的中点时,求证;2如图2,当,求的值.【例3】已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠...。