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定积分典型例题例1求.分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法先对区间等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解将区间等分,则每个小区间长为,然后把的一个因子乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即==.例2=_________.解法1由定积分的几何意义知,等于上半圆周与轴所围成的图形的面积.故=.例18计算.分析被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分.解===.注在使用牛顿-莱布尼兹公式时应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如,则是错误的.错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.例19计算.分析被积函数在积分区间上实际是分段函数.解例20设是连续函数,且,则.分析本题只需要注意到定积分是常数(为常数).解因连续,必可积,从而是常数,记,则,且.所以,即,从而,所以.例21设,,,求并讨论的连续性.分析由于是分段函数故对也要分段讨论.解
(1)求的表达式.的定义域为.当时,因此.当时,因此则==,故.2在及上连续在处,由于.因此在处连续从而在上连xu例22计算.分析由于积分区间关于原点对称,因此首先应考虑被积函数的奇偶性.解=.由于是偶函数,而是奇函数,有于是===由定积分的几何意义可知故.例23计算.分析被积函数中含有及,考虑凑微分.解=====.例24计算.解=====例26计算,其中.解法1令,则=.注如果先计算不定积分,再利用牛顿莱布尼兹公式求解则比较复杂,由此可看出定积分与不定积分的差别之一.例27计算.分析被积函数中含有根式,不易直接求原函数,考虑作适当变换去掉根式.解设,,,则=.例29计算.分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形,通常采用分部积分法.解.例30计算.分析被积函数中出现对数函数的情形,可考虑采用分部积分法.解===.例...。