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对数函数例1 求下列函数的定义域
(1)y=log2(x2-4x-5);
(2)y=logx+1(16-4x)
(3)y=.解
(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故定义域为 {x|x<-1,或x>5}.
(2)令得故所求定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}.
(3)令,得故所求定义域为{x|x<-1-,或-1-<x<-3或x≥2}.说明 求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑,真数大于零.底数大于零不等于1,若处在分母的位置,还要考虑不能使分母为零.例2 求下列函数的单调区间.
(1)y=log2(x-4);
(2)y=log0.5x2.解
(1)定义域是(4,+∞),设t=x-4当x>4时,t随x的增大而增大,而y=log2t,y又随t的增大而增大,∴(4,+∞)是y=log2(x-4)的递增区间.
(2)定义域{x|x∈R,且x≠0},设t=x2,则y=log0.5t当x>0时,t随x的增大而增大,y随t的增大而减小,∴(0,+∞)是y=log0.5x2的递减区间.当x<0时,t随x的增大而减小,y随t的增大而减小,∴(-∞,0)是y=log0.5x2的递增区间.例3 比较大小
(1)log0.71.3和log0.71.8.
(2)(lgn)1.7和(lgn)2(n>1).
(3)log23和log53.
(4)log35和log64.解
(1)对数函数y=log0.7x在(0,+∞)内是减函数.因为1.3<1.8,所以log0.71.3>log0.71.8.
(2)把lgn看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数lgn讨论.若1>lgn>0,即1<n<10时,y=(lgn)x在R上是减函数,所以(lgn)1.2>(lgn)2;若lgn>1,即n>10时,y=(lgn)2在R上是增函数,所以(lgn)1.7>(lgn)2.
(3)函数y=log2x和y=log5x当x>1时,y=log2x的图像在y=log5x图像上方.这里x=3,所以log23>log53.
(4)log35和log64的底数和真数都不相同,须找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性即可求解....。