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第3章课后习题及解答将1,2题中的向量表示成的线性组合1.2.解设存在使得,整理得解得所以.设存在使得,整理得,,,.解得所以.判断3,4题中的向量组的线性相关性
3.
4.解
3.设存在使得,即,由,解得不全为零,故线性相关.
4.设存在使得,即可解得不全为零,故线性相关.
5.论述单个向量线性相关和线性无关的条件.解设存在使得,若,要使,当且仅当,故,单个向量线性无关的充要条件是;相反,单个向量线性相关的充要条件是.
6.证明如果向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关.证设向量组线性无关,利用反证法,假设存在该向量组的某一部分组线性相关,则向量组线性相关,与向量组线性无关矛盾,所以该命题成立.
7.证明若线性无关,则也线性无关.证方法一,设存在使得,整理得,,因为线性无关,所以,可解得,故线性无关.方法二,因为,又因为,且线性无关,所以向量组的秩为2,故线性无关.
8.设有两个向量组和其中是分别在的个分量后任意添加个分量所组成的维向量,证明1若线性无关,则线性无关;2若线性相关,则线性相关.证证法1,1设,,因为线性无关,所以齐次线性方程只有零解,即且,线性无关.证法2,因为线性无关,所以齐次线性方程只有零解,再增加方程的个数,得,该方程也只有零解,所以线性无关.2利用反证法可证得,即假设线性无关,再由
(1)得线性无关,与线性相关矛盾.
9.证明线性无关的充分必要条件是线性无关.证方法1,()=()因为线性无关,且,可得的秩为3所以线性无关.线性无关;反之也成立.方法2,充分性,设线性无关,证明线性无关.设存在使得,整理得,因为线性无关,所以,可解得,所以线性无关.必要性,(方法1)设线性无关,证明线性无关,假设线性相关,则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示,不妨设线性表示,则向量组可由线性表示,且,所以线性相关,与线性无关矛盾,故线性无关.方法2,令,设存在使得,由得,代入得,,即因为线性无关,所以可解得,所以线性无关.
10.下列说法是否正确?如正确,证明之;如...。