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第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程
一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数.如果y
1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看能否适当选取r使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y=erx代入方程y+py+qy=0得r2+pr+qerx=
0.由此可见只要r满足代数方程r2+pr+q=0函数y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r
1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:1特征方程有两个不相等的实根r
1、r2时函数、是方程的两个线性无关的解.这是因为函数、是方程的解又不是常数.因此方程的通解为.2特征方程有两个相等的实根r1=r2时函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为是方程的解又所以也是方程的解且不是常数.因此方程的通解为.3特征方程有一对共轭复根r12=aib时函数y=ea+ibx、y=eaibx是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y1ea+ibx和y2eaibx都是方程的解而由欧拉公式得y1ea+ibxexcosxisinxy2eaibxexcosxisinxy1y22excosxy1y22iexsinx故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以验证y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eaxC1cosbx+C2sinbx.求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方...。