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二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线形微分方程的概念形如1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数为已知的连续函数.如果则方程式1变成2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.
二、二阶常系数齐次线性微分方程1.解的叠加性定理1如果函数与是式2的两个解则也是式2的解其中是任意常数.证明因为与是方程2的解所以有将代入方程2的左边得=所以是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数但它不一定是方程式2的通解.
2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I内的n个函数若存在不全为零的常数使得当在该区间内有则称这n个函数在区间I内线性相关否则称线性无关.例如在实数范围内是线性相关的因为又如在任何区间ab内是线性无关的因为在该区间内要使必须.对两个函数的情形若常数则线性相关若常数则线性无关.
3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果与是方程式2的两个线性无关的特解则为任意常数是方程式2的通解.例如是二阶齐次线性方程是它的两个解且常数即线性无关所以是任意常数是方程的通解.由于指数函数r为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子根据指数函数的这个特点我们用来试着看能否选取适当的常数使满足方程
2.将求导得把代入方程2得因为所以只有3只要满足方程式3就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程特征方程是一个代数方程其中的系数及常数项恰好依次是方程2的系数.特征方程3的两个根为因此方程式2的通解有下列三种不同的情形.1当时,是两个不相等的实根.是方程2的两个特解并且常数即与线性无关.根据定理2得方程2的通解为2当时是两个相等的实根.这时只能得到方程2的一个特解还需求出另一个解且常数设即.将代入方程2得整理得由于所以因为是特...。