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一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数的图象、性质与重要的应用,是高考要求范围内的一个重要的基础知识.那么在高三第一轮复习课中,对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言,我们务必要系统介绍学习(ab≠0)的图象、性质与应用.2.1定理函数(ab≠0)表示的图象是以y=ax和x=0(y轴)的直线为渐近线的双曲线.首先,我们根据渐近线的意义可以理解ax的值与的值比较,当很大很大的时候,的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是ax的值;当的值很小很小,几乎为0的时候,ax的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是的值.从而,函数(ab≠0)表示的图象是以y=ax和x=0(y轴)的直线为渐近线的曲线.另外我们可以发现这个函数是奇函数,它的图象应该关于原点成中心对称.由于函数形式比较抽象,系数都是字母,因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的,我们通过一个例题来说明这一结论.例1.若函数是双曲线,求实半轴a,虚半轴b,半焦距c,渐近线及其焦点,并验证双曲线的定义.分析画图,曲线如右所示;由此可知它的渐近线应该是和x=0两条直线;由此,两条渐近线的夹角的平分线y=x就是实轴了,得出顶点为A(,3),A1(-,-3);∴a==由渐近线与实轴的夹角是30º,则有=tan30º得b=2c==4∴F12F2-2-.为了验证函数的图象是双曲线,在曲线上任意取一点P(x)满足即可;所以,函数表示的曲线是双曲线.(在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确的.)2.2五种表现形式表现1函数(a0b0)的双曲线大概图象如下渐近线含双曲线部分的夹角是锐角,在和上函数分别是单调递增的,在和上函数分别是单调递减的;在x=处有极大值,在x=处有极小值;值域是.表现2函数(a0b0)的双曲线大概图象如下渐近线含双曲线部分的夹角是锐角,在和上函数分别是单调递减的,在和上函数分别是单调递增的;在x=处有极小值,在x=处有极大值;值域是.表现3函数(a0b0)的双曲线大概图象如右此时,渐近线含双曲线部分的夹角是钝角,∵0,所以,函数在和上函数分别是单调递增的,每一个单调区间上的值域都是R.表现
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