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计算方法数值积分上机习题报告问题数学上已经证明所以可以通过数值积分来计算的近似值
(1)分别使用矩形、梯形和Simpson复合求积公式计算的近似值.选择不同的h,对每种求积公式,是将误差刻画成h的函数,并比较各方法精度.是否存在某个h值,当低于这个值后再继续减小h的值,计算不再有所改进?为什么?
(2)实现Romberg求积方法,并重复上面的计算.
(3)使用自适应求积方法重复上面的计算.
二、解决问题的算法
1、各求积方法的实现先将[ab]区间分割为小区间,引入等距分点并记
(1)矩形求积方法公式
(2)梯形求积方法公式
(3)Simpson复合求积公式
(4)Romberg求积方法记为复合梯形求积公式,则有递推定义的求积序列
(5)自适应求积方法a.设给定的精度要求为,取初始步长为h=b-a;b.计算Th;c.将h/2赋予h,计算Th/2;d.若|Th/2-Th|,则输出Th/2,否则将h/2赋予h,转到b,再继续计算.
2、计算精度的方法因为π是一个数学常数,在各大主流程序语言中均有定义,所以可以计算得到的数值积分值I与π的差值|π-I|来得到各方法的精度
三、使用的工具C语言
四、数值结果
1、矩形求积公式结果及误差
2、梯形求积公式结果及误差
3、Simpson复合求积公式结果及误差
4、自适应求积方法结果及误差
5、Romberg求积方法结果及误差
五、数值结果分析
1、对于以上五种不同的算法,均可以得到π的近似值为
3.
141592654.
2、C++中储存的π的值为M_PI=
3.14159265358979310862,精度达到10-20,而上表中表明各方法所计算出来的最高误差精度集中在10-13~10-16,并未达到10-20的精度,所以以下对精度的讨论是有效的.
3、下面对矩形、梯形、Simpson复合求积公式的精度做一个简单的比较由此可见,在h不是非常小时,每种方法的精度均随着h的减小而提高而且从上表可以看出,上面三种方法中Simpson复合求积公式的精度最高,当h=
0.1时精度就达到了非常高的10-10;矩形、梯形复合求积公式精度相当,均比较低,其中梯形求积公式精度略高于矩形求积公式
4、使用矩形、梯形复合求积公式h的精度达到10-
6、Si...。