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文本内容:
均值不等式总结及应用
1.1若,则2若,则(当且仅当时取“=”)
2.1若,则2若,则(当且仅当时取“=”)3若,则当且仅当时取“=”)
3.若,则当且仅当时取“=”)若,则当且仅当时取“=”)若,则当且仅当时取“=”)
4.若,则当且仅当时取“=”)若,则当且仅当时取“=”)
5.若,则(当且仅当时取“=”)说明
(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例1求下列函数的值域
(1)y=3x2+
(2)y=x+解1y=3x2+≥2eq\r3x2·=∴值域为[,+∞)2当x>0时,y=x+≥2eq\rx·=2;当x<0时,y=x+=-(-x-)≤-2eq\rx·=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)【解题技巧】技巧一凑项例已知,求函数的最大值解因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,评注本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值技巧二凑系数例
1.当时,求的最大值解析由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8评注本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值变式设,求函数的最大值解∵∴∴当且仅当即时等号成立技巧三分离例
3.求的值域解析一本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离当即时(当且仅当x=1时取“=”号)技巧四换元解析二本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值当即t=时(当t=2即x...。