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文本内容:
复数
1、复数的概念
1.虚数单位i
(1)它的平方等于,即;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律.
(3)i的乘方,它们不超出的形式.
2.复数的定义形如的数叫做复数,分别叫做复数的实部与虚部
3.复数相等,即,那么这两个复数相等
4.共轭复数时,.性质;;;
2、复平面及复数的坐标表示
1.复平面在直角坐标系里,点z的横坐标是,纵坐标是,复数可用点来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴为实轴,y轴出去原点的部分称为虚轴.
2.复数的坐标表示点
3.复数的向量表示向量.
4.复数的模在复平面内,复数对应点,点Z到原点的距离叫做复数z的模,记作.由定义知,.
3、复数的运算
1.加法.几何意义设对应向量,对应向量,则对应的向量为.因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释.
2.减法.几何意义设对应向量,对应向量,则对应的向量为.表示、两点之间的距离,也等于向量的模.
3.乘法
4.乘方
5.除法
6.复数运算的常用结论
(1),
(2),
(3),
(4),,,.
(5),
(6)
(7),,
4、复数的平方根与立方根
1.平方根若,则是的一个平方根,也是的平方根.(1的平方根是.)
2.立方根如果复数、满足,则称是的立方根.
(1)1的立方根.,,..
(2)的立方根.
5、复数方程
1.常见图形的复数方程
(1)圆(,为常数),表示以对应的点为圆心,为半径的圆
(2)线段的中垂线(其中分别对应点)
(3)椭圆(其中且),表示以对应的点F
1、F2为焦点,长轴长为的椭圆
(4)双曲线(其中且),表示以对应的点F
1、F2为焦点,实轴长为的双曲线
2.实系数方程在复数范围内求根
(1)求根公式
(2)韦达定理
(3)。