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一:有关周期性的讨论在已知条件或中,1等式两端的两自变量部分相加得常数,如,说明的图像具有对称性,其对称轴为2等式两端的两自变量部分相减得常数,如,说明f(x)的图像具有周期性,其周期T=a+b设为非零常数若对于定义域内的任意恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律112233445567891011若函数同时关于直线对称则函数的周期12若函数同时关于点对称则函数的周期13若函数同时关于直线对称又关于点对称则函数的周期14若偶函数y=fx的图像关于直线x=a对称,则fx为周期函数且T=215若奇函数y=fx的图像关于直线x=a对称,则fx为周期函数且T=416若奇函数y=fx满足fx+T=fxx∈R,T≠0则f=
0.⒈若的图象关于两类易混淆的函数问题对称性与周期性例
1.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(5+x)=f(5-x),问y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?例
2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+5)=f(x-5),问y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?定理1如果函数y=f(x)(x∈R)满足,那么y=f(x)的图像关于直线对称证明设点是y=f(x)的图像上任一点,点P关于直线x=a的对称点为Q,易知,点Q的坐标为因为点在y=f(x)的图像上,所以于是所以点也在y=f(x)的图像上由P点的任意性知,y=f(x)的图像关于直线x=a对称定理2如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(b-x),那么y=f(x)的图像关于直线的对称定理3如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a),那么y=f(x)是以2a为周期的周期函数证明令,则代入已知条件得根据周期函数的定义知,y=f(x)是以2a为周期的周期函数定理4如果函数y=f(x)(x∈R)满足,那么y=f(x)是以为周期的周期...。