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矩阵的初等变换及应用内容摘要矩阵是线性代数的重要研究对象矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具,利用矩阵初等变换,可以求行列式的值,求解线性方程组,求矩阵的秩,确定向量组向量间的线性关系一矩阵的概念定义由于m×n个数aij(i=1,2,….,m;j=1,2,….,n)排成的m行n列的数表,称为m行n列,简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为初等变换
1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:1交换矩阵的两行交换两行记作;2以一个非零的数乘矩阵的某一行第行乘数记作;3把矩阵的某一行的倍加到另一行第行乘加到行记为.
1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与矩阵B等价,记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:1反身性 ;2对称性 若则;3传递性 若则.三矩阵初等变换的应用
1.利用初等变换化矩阵为标准形定理任意一个m×n矩阵A,总可以经过初等变换把它化为标准形
2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵即对n×2n矩阵(A¦E)施行初等行变换,当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时,右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^-1即A|E经过初等变换得到E|A^-1这种计算格式也可以用来判断A是否可逆,当我们将A化为行阶梯形矩阵时,若其中的非零行的个数等于n时,则A可逆,否则A不可逆设矩阵可逆,则求解矩阵方程等价于求矩阵 ,为此,可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法,构造矩阵,对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵,则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为,即 .这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵.即.3.利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到,矩阵可经初等行变换化...。