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文本内容:
线性代数公式
1、行列式
1.行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2.代数余子式的性质
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
3.代数余子式和余子式的关系
4.设行列式将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
5.行列式的重要公式
①、主对角行列式主对角元素的乘积;
②、副对角行列式副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式()主对角元素的乘积;
④、和副对角元素的乘积;
⑤、拉普拉斯展开式、
⑥、范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6.对于阶行列式,恒有,其中为阶主子式;
7.证明的方法
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
8.是阶可逆矩阵(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;
9.对于阶矩阵无条件恒成立;
10.
11.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
12.关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆若,则Ⅰ、;Ⅱ、;
②、;(主对角分块)
③、;(副对角分块)
④、;(拉普拉斯)
⑤、;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
13.一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的;等价类所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;
14.行最简形矩阵
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
15.初等行变换的应用(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、若,则可逆,且;
②...。