还剩2页未读,继续阅读
文本内容:
线性代数知识点总结(第3章)
(一)向量的概念及运算
1、向量的内积(α,β)=αTβ=βTα
2、长度定义||α||=
3、正交定义(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=
04、正交矩阵的定义A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示1←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解★2←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件(了解即可)若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示
7、线性表示的求法(大题第二步)设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示(α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)行最简形每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项
(1)α线性相关←→α=0
(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性相关
(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;★
(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关
(1)←→r(α1,α2,…,αn)<n
(2)←→|α1,α2,…,αn|=0
(3)←→(α1,α2,…,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2)部分相关,则整体相关
(3)高维相关,则低维相关
(4)以少表多,多必相关★推论n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性无关
(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
(3)←→r(α...。