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线性代数知识点总结(第5章)
(一)矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量
2、特征多项式、特征方程的定义|λE-A|称为矩阵A的特征多项式(λ的n次多项式)|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程(λ的n次方程)注:特征方程可以写为|A-λE|=
03、重要结论
(1)若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量
(2)A的各行元素和为k,则1,1,…,1T为特征值为k的特征向量
(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素△
4、总结特征值与特征向量的求法
(1)A为抽象的由定义或性质凑
(2)A为数字的由特征方程法求解
5、特征方程法
(1)解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn注n次方程必须有n个根可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略
(2)解齐次方程(λiE-A)=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(λiE-A)个解)
6、性质
(1)不同特征值的特征向量线性无关
(2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r(λiE-A)≤ki
(3)设A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σaii
(4)当r(A)=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα,λ2=…=λn=0
(5)设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则Af(A)ATA-1A*P-1AP(相似)λf(λ)λλ-1|A|λ-1λαα/ααP-1α
(二)相似矩阵
7、相似矩阵的定义设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B
8、相似矩阵的性质
(1)若A与B相似,则f(A)与f(B)相似
(2)若A与B相似,B与C相似,则A与C相似
(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和)【推广】
(4)若A与B相似,则AB与BA相似,AT与BT相似,A-1与B-...。