还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
矩阵的合同变换摘要矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系关键词矩阵秩合同对角化定义1如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B,则积A与B等价,记为定义2设A,B都是数域F上的n阶方阵,如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得,则称A和B相似定义3设A,B都是数域F上的n阶矩阵,如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P,使得那么就说,在数域F上B与A合同以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、性定理1合同变换与相似变换都是等价变换证明仅证合同变换,相似变换完全相似因为P可逆,所以P存在一系列初等矩阵的乘积,即此时边为一系列初等矩阵的乘积若则B由A经过一系列初等变换得到所以,从而知合同变换是等价变换定理2合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩证明由知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩定理3相似矩阵有相同特征多项式证明共又因为为对称矩阵所以注
①合同不一定有相同特征多项式定理4如果A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A与B相似且合同论设A,B为特征根均为,因为A与B实对称矩阵,所以则在n阶正矩阵,使得从而有由从而有从而又由于为正交矩阵所以且定时5两合同矩阵,若即,若A为对称矩阵,则B为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质证明即,若对称阵,则所以B边为对称阵[注]相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢?引理6对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩,S为的重数.证明任给对称的n阶矩阵A一个特征根,以其重数以秩,则,线性无关的解向量个数为个,即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点,如对二次型应用例求一非线性替换,把二次型二次型矩阵为对A相同列与行初等变换,对矩阵E,施行列初等变换可把二次型化为标准型解法
(2)...。