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文本内容:
第3章平面与空间直线§
3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程
(1)通过点和点且平行于矢量的平面
(2)通过点和且垂直于坐标面的平面;
(3)已知四点,,求通过直线AB且平行于直线CD的平面,并求通过直线AB且与平面垂直的平面解
(1),又矢量平行于所求平面,故所求的平面方程为一般方程为
(2)由于平面垂直于面,所以它平行于轴,即与所求的平面平行,又,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为一般方程为,即
(3)(ⅰ)设平面通过直线AB,且平行于直线CD,从而的参数方程为一般方程为(ⅱ)设平面通过直线AB,且垂直于所在的平面,均与平行,所以的参数式方程为一般方程为.
2.化一般方程为截距式与参数式.解与三个坐标轴的交点为,所以,它的截距式方程为.又与所给平面方程平行的矢量为,所求平面的参数式方程为
3.证明矢量平行与平面的充要条件为.证明不妨设,则平面的参数式方程为故其方位矢量为,从而平行于平面的充要条件为,共面.
4.已知连接两点的线段平行于平面,求点的坐标.解而平行于由题3知从而.
5.求下列平面的一般方程.⑴通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;⑶与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点求通过且垂直于的平面;⑸原点在所求平面上的正射影为;⑹求过点和且垂直于平面的平面.解:平行于轴的平面方程为.即.同理可知平行于轴轴的平面的方程分别为.⑵设该平面的截距式方程为把点代入得故一般方程为.⑶若所求平面经过轴,则为平面内一个点和为所求平面的方位矢量∴点法式方程为∴一般方程为.同理经过轴轴的平面的一般方程分别为.⑷垂直于平面∴该平面的法向量平面通过点因此平面的点位式方程为.化简得.5∴则该平面的法式方程为:既
(6)平面的法向量为,,点从写出平面的点位式方程为,则,则一般方程即6.将下列平面的一般方程化为法式方程解将已知的一般方程乘上得...。