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反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 一般地,如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN,,所得矩形AMON的面积为S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=,∴xy=k. ∴=|k|.∴. 这就是说,过双曲线上任一点,做X轴、Y轴的垂线,所得矩形的面积为|k|这是系数k的几何意义,明确了k的几何意义会给解题带来许多方便,请思考下列问题
1、求函数的解析式 例1如图2所示,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点.过点分别作轴、轴的垂线,垂足为点、.如果四边形是正方形,求一次函数的关系式. 解析 四边形是正方形及反比例函数的图象在第一象限相交于点, 则正方形的面积为S=xy=9,所以正方形的边长为3,即点A的坐标(3,3,) 将点A(3,3,)代入直线得y=x+1
2.特殊点组成图形的面积 例2如图3,点、是双曲线上的点,分别经过、两点向轴、轴作垂线段,若则. 解析 由AB分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等, ∴S1+S阴影=S2+S阴影=xy=
3. ∵ ∴2+2=4 例3如图4,A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥轴,AC∥轴,△ABC的面积记为,则( )A. B. C. D. 解析 ∵A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点, ∴△ABC的面积记为=4S△AOD=4×xy=
4.
3、求字母的值 例4如图5,直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连结BM若=2,则k的值是( ) A.2 B、m-2 C、m D、4 解析 ∵直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点,已知AB两点关于原点O对称,所以=2S△AOM=2×xy=xy=2 ∴k=2 例5如图6,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为3,则k=____________. 解析由双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D, 设点D的坐标(xy),又DE∥BA ∴点B的坐标为(2x2y), ∵△OBC的面积3 ...。