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典型例题
(二)方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵试证下列各式
(1)若则;
(2)若A、B都是n阶可逆矩阵则;
(3);
(4)若则;
(5);
(6)若则(l为自然数);
(7).证
(1)因为故A是可逆矩阵且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.即
(2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(2-7)另一方面(2-8)比较式(2-7)、(2-8)可知又因为A、B均可逆所以AB也可逆对上式两端右乘可得
(3)设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为可推出的伴随矩阵为比较与可知
(4)因为故A可逆A的逆矩阵为并且由可知由于可逆且可得另一方面由由矩阵可逆的定义知可逆并且
(5)对于
(3)给出的矩阵A有即的代数余子式为故
(6)因为故A可逆并且
(7)对于
(3)给出的矩阵A有类似于
(5)可知的代数余子式为故例2设A是n阶非零矩阵并且A的伴随矩阵满足证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式有反证假设A不可逆故有由上式及条件有(2-6)设矩阵A为由式(2-6)可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故因此有A=O与A是n阶非零矩阵矛盾故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵证明的充要条件是证必要性因为因此即充分性因为故.例4设A是一个n阶方阵n为奇数且证明不可逆.证因为故 因此有所以故是不可逆矩阵.例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满...。