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换元法证明不等式已知abcd都是实数且满足a^2+b^2=1c^2+d^2=4求证:|ac+bd|≤2a=cosAb=sinAc=2cosBd=2sinB|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cosA-B|=2得证若x+y+z=1,试用换元法证明x+y+z≥1/3解法一换元法证明因为x-1/3^2+y-1/3^2+z-1/3^2≥0展开,得x^2+y^2+z^2-2/3*x+y+z+3*1/9≥0x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0x^2+y^2+z^2≥1/3其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立解法二因为:x+y+z=1所以:x+y+z=1化解为:x+y+z+2xy+2xz+2yz=1又因为x+y≥2xy;x+z≥2xz;y+z≥2yz;所以x+y+z+2xy+2xz+2yz=1=3x+y+z固x+y+z≥1/3例1已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥1/3证明令a=m+1/3,b=n+1/3,c=t+1/3,则m+n+t=0∴a2+b2+c2=m+1/32+n+1/32+t+1/32=m2+n2+t2+2m+n+t/3+1/3=m2+n2+t2+1/3∵m2+n2+t2≥0,∴a2+b2+c2≥1/3得证换元的目的转化、化简已知条件,使已知条件更易于使用例2已知abc,求证1/a-b+1/b-c≥4/a-c证明令x=a-b,y=b-c,则a-c=x+y且x0,y0∴原不等式转化为1/x+1/y≥4/x+y因此,只要证明x+y/x+x+y/y≥4只要证1+y/x+1+x/y≥4只要证y/x+x/y≥2,而y/x+x/y≥2恒成立∴1/a-b+1/b-c≥4/a-c得证换元的目的化简、化熟命题,把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题例3已知x2-y2+12+4x2y2-x2-y2=0,求证3-√5/2≤x2+y2≤3+√5/2证明令x2+y2=t由x2-y2+12+4x2y2-x2-y2=0得x2+y22-
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