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文本内容:
全等三角形常见辅助线作法【知识导图】【导学】全等三角形第一部分知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形__的知识解答.第二部分例题剖析
一、倍长中线(线段)造全等例
1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.例
2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.例
3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证AD平分∠BAE.http://___.czsx.com.cn
二、截长补短
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证CD⊥AC
2、如图,AC∥BD,EAEB分别平分∠CAB∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线求证BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BAAD=CD,BD平分,求证
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC应用
三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证>.例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证AB+ACAD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线ADCE相交于点O,求证OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的长.
五、旋转例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.例2如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为;例3设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450,AP⊥EF于点P,
(1)求证AP=AB
(2)若AB=5,求ΔECF的周长变式练习
1、如图所示,正方形ABCD的BC边上有一点E,∠DAE的平分线交CD于F,试用旋转的思想方法说明AE=DF+BE.
3.
(1)如图11-1,△ADE中,AE=AD且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB分别平分∠AED、∠ADE,交AD、AE于点C、B,连接BC.请你判断AB、AC是否相等,并说明理由;
(2)△ADE的位置保持不变,将△ABC绕点A逆时针旋转至图11-2的位置,AD、BE相交于O,请你判断线段BE与CD的关系,并说明理由.【课后作业】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,求证EF=AE+BF.
(2)如图,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF、AE、BF之间的关系.
①AD>BD;
②AD=BD;
③AD<BD.
2.如图3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CD,BF⊥CD,AB交CD于E.求证DF=CD-AD.
3.如图,已知AC=BC,∠ACB=90°,D为AB上任意一点,AE⊥CD延长线于E,BF⊥CD于F.求证EF=BF-AE.4.如图,在△ABC中,AC⊥BCAC=BCD为AB上一点,AF⊥CD交CD的延长线于F,BE⊥CD于E.求证EF=BE—AF
5.如图,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F.求证BE+CF>EF.精准诊查图11-1图11-2OACFDEBB。