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将二次函数解析式的求法归纳为五种类型
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则可以用标准式y=ax2+bx+c.例1已知二次函数图像经过(1,0)、(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析式.解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由已知可得,解之得故所求二次函数解析式为y=x2+2x-
3.
二、顶点型若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大(小)值,则可以用顶点形式y=ax-h2+k.例2已知抛物线的顶点坐标为(2,3),且经过点(3,1),求其解析式.解设二次函数解析式为y=ax-h2+k由条件得1=a3-22+
3.解得a=-
2.所以,抛物线的解析式为y=-2x-22+3即y=-2x2+8x-
5.
三、交点型若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴,则可以用交点形式y=ax-x1•x-x
2.例3已知二次函数图像与x轴交于(-1,0)、(3,0)两点,且经过点(1,-5),求其解析式.解设二次函数解析式为y=ax+1x-3由条件得-5=a1+11-
3.解得a=
54.故所求二次函数解析式为y=54x+1x-3则y=54x2—52x—
154.
四、平移型将二次函数图像平移,形状和开口方向、大小没有改变,发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式,再按照“左加右减,上加下减”的法则,即可得出所求的抛物线的解析式.例4将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位,再向下平移3个单位,求所得到的抛物线的解析式.解函数解析式可变为y=x+12-
4.因向左平移4个单位,向下平移3个单位,所求函数解析式为y=x+1+42-4-3即y=x2+10x+
18.
五、综合型综合运用几何性质求二次解析式.例5如下图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若AC=20,BC=15,∠ABC=90°,求这个二次函数解析式.解在Rt△ABC中,AB=+=25,∵S△ABC=12AC•BC=12AB•OC,∴OC=AC•BCAB=20×1525=
12.∵AC2=AO•A...。