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第6节2019-2020年高考数学圆锥曲线的应用
一、基本知识概要解析几何在日常生活中应用广泛,如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用,说明数学建模的方法,理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想
二、例题例
1、设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离地球相距万千米和万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为,求该慧星与地球的最近距离解建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点处,椭圆的方程为(图见教材P132页例1)当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时,由椭圆的几何意义可知,彗星A只能满足作故由椭圆第二定义可知得两式相减得答彗星与地球的最近距离为万千米说明
(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是,另一个是
(2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少?怎样证明?例2A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6,C在B正北偏西,相距4,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1,A若炮击P地,求炮击的方位角(图见优化设计教师用书P249例2)解如图,以直线BA为轴,线段BA的中垂线为轴建立坐标系,则,因为,所以点P在线段BC的垂直平分线上因为,BC中点,所以直线PD的方程为
(1)又故P在以A,B为焦点的双曲线右支上设,则双曲线方程为
(2)联立
(1)
(2),得,所以因此,故炮击的方位角北偏东说明本题的关键是确定P点的位置,另外还要求学生掌握方位角的基本概念例3根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高3m,宽
1.6m现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交通...。