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2019-2020年高中数学第二章基本初等函数I
2.3幂函数习题课新人教版必修
1.下列函数中,定义域为R的函数是 A.y=xB.y=x-C.y=xD.y=x-3解析 y=x=,定义域为[0,+∞;y=x-=,定义域为-∞,0∪0,+∞;y=x=,定义域为R;y=x-3=,定义域为-∞,0∪0,+∞.答案 C
2.函数fx=的单调递增区间是 A.B.0,1]C.0,+∞D.[1,+∞解析 fx=当x≥1时,t=logx是减函数,fx=-logx是增函数,故fx的单调增区间为[1,+∞.答案 D
3.已知fx是函数y=log2x的反函数,则y=f1-x的图象是 解析 函数y=log2x的反函数为y=2x,故fx=2x,于是f1-x=21-x=,此函数在R上为减函数,其图象经过点0,2,只有选项C中的图象符合要求.答案 C
4.已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系为________.解析 由已知得a=log23,b=log232-=log23,c=log321,故a=bc.答案 a=bc
5.函数fx=的值域为________.解析 当x≥1时,logx≤log1=0,∴当x≥1时,fx≤
0.当x1时,02x21,即0fx
2.因此函数fx的值域为-∞,
2.答案 -∞,
26.已知1<x<10,试比较lgx2,lgx2,lglgx的大小.解 由1<x<10知1<x2<100,故0<lgx<1,lgx2>0,lgx2>0,lglgx<
0.又=<1,所以lgx2<lgx2,因此lglgx<lgx2<lgx
2.
7.已知幂函数y=fx=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2<x<2,x∈Z},满足1是区间0,+∞上的增函数;2对任意的x∈R,都有f-x+fx=
0.求同时满足1,2的幂函数fx的解析式,并求x∈[0,3]时fx的值域.解 因为m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,
1.因为对任意x∈R,都有f-x+fx=0,即f-x=-fx,所以fx是奇函数.当m=-1时,fx=x2只满足条件1而不满足条件2;当m=1时,fx=x0条件
1、2都不满足;当m=0时,fx=x3条件
1、2都满足,且在区间[0,3]上是增函数.所以x∈[0,3]时,函数fx的值域为[0,27].
8.已知函数y=logx2-ax+a在区间-∞,上是增函数,求实数a的取值范围.解 令gx=x2-ax+a,gx在上是减函数,∵0<<1,∴y=loggx是减函数,又已知复合函数y=logx2-ax+a在区间-∞,上是增函数,∴只要gx在-∞,上单调递减,且gx>0,x∈-∞,恒成立,则∴2≤a≤2+1,故所求a的取值范围是[2,2+1].能力提升
9.设函数fx=若faf-a,则实数a的取值范围是 A.-1,0∪0,1B.-∞,-1∪1,+∞C.-1,0∪1,+∞D.-∞,-1∪0,1解析 由题意可得或解之可得a1或-1a
0.答案 C
10.如图所示,函数fx=loga|x|+10<a<1的图象大致为 解析 当x>0时,fx=logax+1,其图象可以看作fx=logax的图象向上平移一个单位而得到的,又因fx=loga|x|+10<a<1是偶函数,所以x<0时的图象与x>0时的图象关于y轴对称.答案 A
11.已知函数fx=若fx在-∞,+∞上单调递增,则实数a的取值范围为________.解析 ∵函数fx是-∞,+∞上的增函数,∴a的取值需满足解得2<a≤
3.答案 {a|2<a≤3}
12.已知函数fx=|lgx|,若fa=fba>b>0,则a·b=________.解析 ∵fa=fb,∴|lga|=|lgb|,∴lga2=lgb2,∴lga+lgblga-lgb=0,∴lga·b=0或lga=lgb.又∵a>b>0,∴a·b=
1.答案
113.已知函数fx=lnax-bxa>1>b>
0.1求函数fx的定义域I;2判断函数fx在定义域I上的单调性,并说明理由;3当a,b满足什么关系时,fx在区间[1,+∞上恒取正值.解 1∵fx=lnax-bxa>1>b>0要有意义,∴ax-bx>0,即>
1.又a>1>b>0,∴>1,∴x>0,∴所求定义域I为0,+∞.2fx在定义域上是单调递增函数.证明令0<x1<x2,∵a>1>b>0,∴ax1<ax2,bx1>bx2,∴ax1-bx1<ax2-bx2,∴lnax1-bx1<lnax2-bx2,∴fx1<fx2,故原函数在定义域上是单调递增函数.3要使fx在区间[1,+∞上恒取正值,须fx在区间[1,+∞上的最小值大于
0.由2知fxmin=f1=lna-b.∵lna-b>0,∴a-b>
1.故fx在区间[1,+∞上恒取正值时有a-b>
1.探究创新
14.已知函数fx=loga3-ax.1当x∈[0,2]时,函数fx恒有意义,求实数a的取值范围;2是否存在这样的实数a,使得函数fx在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解 1∵a0且a≠1,设tx=3-ax,则tx=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,tx最小值为3-2a,当x∈[0,2],fx恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax0恒成立.∴3-2a
0.∴a.又a0且a≠1,∴a∈0,1∪.2tx=3-ax,∵a0,∴函数tx为减函数,∵fx在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat为增函数,∴a1,x∈[1,2]时,tx最小值为3-2a,fx最大值为f1=loga3-a,∴即故不存在这样的实数a,使得函数fx在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为
1.。