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2019-2020年高中数学第二章平面向量
2.2平面向量的线性运算例题与探究新人教A版必修典题精讲例1已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路解析因为向量包含长度和方向,所以在比较向量长度的大小时,要考虑其方向.解1当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;2当a、b为非零向量且a、b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|;当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|;当a、b为非零向量且a、b异向共线时,有|a+b|<|a|+|b|.绿色通道解答本题可利用向量加法的三角形法则,作出图形辅助解答;关键是准确、恰当地进行分类,分别处理.变式训练已知向量a,b,讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.思路解析
(1)当a、b至少有一个为零向量时,有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||;
(2)当a,b为非零向量,且a,b不共线时,有|a|+|b|>|a-b|>||a|-|b||;(三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边的向量表示)当a,b为非零向量,且a,b同向共线时,|a|+|b|>|a+b|=||a|-|b||;当a,b为非零向量,且a,b异向共线时,|a|+|b|=|a+b|>||a|-|b||.答案|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||,结合|a|+|b|≥|a+b|≥||a|-|b||因此有|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||.例2化简下列各式
(1);
(2)[4a-3b+b-6a-7b].思路分析对于
(1),可以利用三角形法则对向量进行分解;对于
(2)利用向量线性运算的运算法则化简.解
(1)++=+++=+=+++=0+2=
2.
(2)[4a-3b+b-6a-7b]=4a-3b+b-a+b=[(4-)a+-3++b]=a-b=a-b.绿色通道向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则,另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示,使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.变式训练xx全国高考卷Ⅰ,理9设平面向量a
1、a
2、a3的和a1+a2+a3=
0.如果向量b
1、b
2...。