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2019-2020年高二数学下学期第一次月考试题文一.填空题(本大题共12个小题,每小题5分)1.命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是 A.“若xy,则x2y2” B.“若xy,则x2y2”C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”2.设函数可导,则等于().A.B.C.D.以上都不对3.若直线l1ax+2y+6=0与l2x+a-1y+a2-1=0垂直,则实数a= A. B.-1C.2D.-1或24曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为()ABC和D和
5.设p:fx=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥则p是q的()A充分不必要条件B,必要不充分条件C,充分必要条件D,既不充分也不必要条件6函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点()A个B个C个D个7.若fx=-x2+2ax与gx=,在区间
[12]上都是减函数,则a的取值范围是 A.-10∪01B.-10∪01]C.01D.01]8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则 A.a=4B.a=5C.a=6D.a=79.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和,过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB∶A′B′=()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶310.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为则的值为()A.B.C.D.111.设F1,F2分别为双曲线-=1a>0,b>0的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.12.定义在R上的函数fx满足f4=1为fx的导函数,已知函数y=的图象如图所示.若两正数a,b满足f2a+b<1,则的取值范围是 A.,B.-∞,∪3,+∞C.,3D.-∞,-32.填空题(本大题共4个小题,每小题5分)
13.把二进制数1100112化为十进制数为________14.设函数,若曲线在点处的切线方程为,则
15.设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=________
16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点为函数y=f(x)的“乖点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“乖点”;任何一个三次函数都有对称中心;且“乖点”就是对称中心.”请你根据这一发现,请回答问题若函数g(x)=x3-x2+3x-,则g()+g()+g()+g()+…+g()= .三.解答题(17题10分,其余各题每题12分)17.已知函数fx=x3+ax2+bx+c,曲线y=fx在点x=1处的切线为l3x-y+1=0,若x=时,y=fx有极值.1求a,b,c的值;2求y=fx在[-3,1]上的最大值和最小值.
18.已知函数()的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的值域.19.洋洋百货销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满足关系式y=+10x-62,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.1求a的值;2若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使洋洋百货每日销售该商品所获得的利润最大.20.(本大题满分12分)已知单位正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点.试求1AD1与EF所成角的大小;2AF与平面BEB1所成角的余弦值.
21.(本大题满分12分)已知椭圆+=1a>b>0的离心率e为,且过点2,.1求椭圆的标准方程;2四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-.求证四边形ABCD的面积为定值.22.(本大题满分12分)已知函数fx=x3-ax+
1.1当x=1时,fx取得极值,求a的值;2求fx在[0,1]上的最小值;3若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=fx的切线,求a的取值范围.参考答案(文科)一.CAACCADAABBC二13:51141;15:12;16:xx.三17解1由fx=x3+ax2+bx+c,得f′x=3x2+2ax+b.当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0,
①当x=时,y=fx有极值,则f′=0,可得4a+3b+4=0,
②由
①②,解得a=2,b=-
4.由于切点的横坐标为1,所以f1=
4.所以1+a+b+c=
4.所以c=
5.2由1,可得fx=x3+2x2-4x+5,f′x=3x2+4x-
4.令f′x=0,解得x1=-2,x2=.当x变化时,f′x,fx的取值及变化情况如下表所示x-3-3,-2-21f′x++0-0++fx8134所以y=fx在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.18证明(Ⅰ).----------------------3分因为函数的最小正周期为,且,所以,解得.--------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得.因为,所以,所以,--------------9分因此,即的取值范围为-----------12分
19.解1因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=
2.2由1可知,该商品每日的销售量y=+10x-
62.所以商场每日销售该商品所获得的利润fx=x-3=2+10x-3x-62,3x
6.从而f′x=10[x-62+2x-3x-6]=30x-4x-6.于是,当x变化时,f′x,fx的变化情况如下表x3,444,6f′x+0-fx单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数fx在区间3,6内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数fx取得最大值,且最大值等于
42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.20
(1)AD1与EF所成的角为60°.2AF与平面BEB1所成角的余弦值为.
21.解1由题意e==,+=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故椭圆的标准方程为+=
1.2证明易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2,联立得1+2k2x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=4km2-41+2k22m2-8=88k2-m2+4>0,
①由根与系数的关系得∵kAC·kBD=-=-,∴=-,∴y1y2=-x1x2=-·=-.又y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=k2+km+m2=,∴-=,∴-m2-4=m2-8k2,∴4k2+2=m
2.设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2,∴S四边形ABCD=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.22解1因为f′x=x2-a,当x=1时,fx取得极值,所以f′1=1-a=0,a=1,又x∈-1,1时,f′x0,x∈1,+∞时,f′x0,所以fx在x=1处取得极小值,即a=1时符合题意.2当a≤0时,f′x0对x∈0,1恒成立,所以fx在0,1上单调递增,所以fx在x=0处取得最小值f0=
1.当a0时,令f′x=x2-a=0,解得x1=-,x2=,当0a1时,1,当x∈0,时,f′x0,fx单调递减;当x∈,1时,f′x0,fx单调递增,所以fx在x=处取得最小值f=1-.当a≥1时,≥
1.x∈0,1时,f′x0,fx单调递减,所以fx在x=1处取得最小值f1=-a.综上所述,当a≤0时,fx在x=0处取得最小值f0=1;当0a1时,fx在x=处取得最小值f=1-;当a≥1时,fx在x=1处取得最小值f1=-a.3因为∀m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=fx的切线,所以f′x=x2-a≠-1对x∈R恒成立,只要f′x=x2-a的最小值大于-1即可.而f′x=x2-a的最小值为f0=-a,所以-a-1,即a
1.αβABA′B′。