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2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数1第3讲函数的奇偶性与周期性习题理新人教A版I
一、填空题
1.xx·广东卷改编下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是________填序号.
①y=;
②y=x+;
③y=2x+;
④y=x+ex.解析 令fx=x+ex,则f1=1+e,f-1=-1+e-1,即f-1≠f1,f-1≠-f1,所以y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数,而
①,
②,
③依次是偶函数、奇函数、偶函数.答案
④
2.若fx是R上周期为5的奇函数,且满足f1=1,f2=2,则f3-f4=________.解析 由fx是R上周期为5的奇函数知f3=f-2=-f2=-2,f4=f-1=-f1=-1,∴f3-f4=-
1.答案 -
13.已知fx=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.解析 依题意b=0,且2a=-a-1,∴a=,则a+b=.答案
4.函数fx在R上为奇函数,且x>0时,fx=+1,则当x<0时,fx=________.解析 ∵fx为奇函数,x>0时,fx=+1,∴当x<0时,-x>0,fx=-f-x=-+1,即x<0时,fx=-+1=--
1.答案 --
15.xx·苏北四市模拟定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,则
①f3f-2f1;
②f1f-2f3;
③f-2f1f3;
④f3f1f-
2.其中正确的是________填序号.解析 由题意知fx为偶函数,所以f-2=f2,又x∈[0,+∞时,fx为减函数,且321,∴f3f2f1,即f3f-2f
1.答案
①
6.xx·杭州七校联考已知定义在R上的函数fx满足f2=,且对任意的x都有fx+3=-,则f8=________;f2015=________.解析 由fx+3=-,得fx+6=-=fx,故函数fx是周期为6的周期函数.故f8=f2=,f2015=f6×335+5=f5=-=-=-
5.答案 -
57.已知fx是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞上单调递增,若flgx<0,则x的取值范围是________.解析 依题意,函数fx在R上是增函数,且f0=0,不等式flgx<0=f0等价于lgx<0,故0<x<
1.答案 0,
18.对于函数fx,若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有fx=f2a-x,则称fx为准偶函数.下列函数
①fx=;
②fx=x2;
③fx=tanx;
④fx=cosx+
1.其中为准偶函数的是________填序号.解析 由fx=f2a-x,∴y=fx关于直线x=a对称a≠0,题中四个函数中,存在对称轴的有
②,
④,而
②中fx=x2的对称轴为x=0,不满足题意,故
④适合.答案
④
二、解答题
9.已知定义在R上的奇函数fx有最小正周期2,且当x∈0,1时,fx=.1求f1和f-1的值;2求fx在[-1,1]上的解析式.解 1∵fx是周期为2的奇函数,∴f1=f1-2=f-1=-f1,∴f1=0,f-1=
0.2由题意知,f0=
0.当x∈-1,0时,-x∈0,
1.由fx是奇函数,∴fx=-f-x=-=-,综上,在[-1,1]上,fx=
10.已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解 1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2由1知fx在[-1,1]上是增函数,要使fx在[-1,a-2]上单调递增.结合fx的图象知所以1a≤3,故实数a的取值范围是1,3].建议用时20分钟
11.xx·泰州一模已知fx=是奇函数,则sinα=________.解析 由题意得,当x0时,-x0,fx=-f-x=-x2-sinx=-x2+sinx,∴cosx+α=sinx,∴α=-+2kπ,k∈Z,则sinα=sin=-
1.答案 -
112.xx·苏北四市模拟已知fx是定义在R上以3为周期的偶函数,若f1<1,f5=,则实数a的取值范围为________.解析 因为函数fx是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f5=f-1=f1,即<1,化简得a-4a+1<0,解得-1<a<
4.答案 -1,
413.xx·扬州模拟已知fx是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,fx=x3-x,则函数y=fx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.解析 因为当0≤x<2时,fx=x3-x,又fx是R上最小正周期为2的周期函数,且f0=0,所以f6=f4=f2=f0=
0.又f1=0,所以f3=f5=
0.故函数y=fx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为
7.答案
714.设函数fx是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.1证明y=fx是周期函数,并指出其周期;2若f1=2,求f2+f3的值;3若gx=x2+ax+3,且y=|fx|·gx是偶函数,求实数a的值.1证明 由f=-f,且f-x=-fx,知f3+x=f=-f=-f-x=fx,所以y=fx是周期函数,且T=3是其一个周期.2解 因为fx为定义在R上的奇函数,所以f0=0,且f-1=-f1=-2,又T=3是y=fx的一个周期,所以f2+f3=f-1+f0=-2+0=-
2.3解 因为y=|fx|·gx是偶函数,且|f-x|=|-fx|=|fx|,所以|fx|为偶函数.故gx=x2+ax+3为偶函数,即g-x=gx恒成立,于是-x2+a-x+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=
0.。