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2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数1第3讲函数的奇偶性与周期性习题理新人教A版
一、选择题
1.xx·肇庆二检下列函数为偶函数的是 A.y=sinxB.y=ln-xC.y=exD.y=ln解析 A选项定义域为R,f-x=sin-x=-sinx=-fx,∴fx为奇函数;B选项定义域为R,f-x=ln[--x]=ln+x≠fx,∴函数不是偶函数;C选项定义域为R,f-x=e-x=≠fx,∴函数不是偶函数;D选项定义域为R,f-x=ln=ln=fx,∴函数为偶函数.故选D.答案 D
2.xx·莱芜模拟设函数fx为偶函数,当x∈0,+∞时,fx=log2x,则f-= A.-B.C.2D.-2解析 由已知得f-=f=log2=.故选B.答案 B
3.xx·福建卷已知函数fx=则下列结论正确的是 A.fx是偶函数B.fx是增函数C.fx是周期函数D.fx的值域为[-1,+∞解析 函数fx=的图象如图所示,由图象知只有D正确.答案 D
4.已知fx是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞上单调递增,若flgx<0,则x的取值范围是 A.0,1B.1,10C.1,+∞D.10,+∞解析 依题意,函数fx在R上是增函数,且f0=0,不等式flgx<0=f0等价于lgx<0,故0<x<1,故选A.答案 A
5.xx·沈阳质量监测已知函数fx=,若fa=,则f-a= A.B.-C.D.-解析 先将表达式化简为fx=1+,由此可得f-x=1+,∴有fx+f-x=2,即有fa+f-a=2,∴f-a=,故选C.答案 C
二、填空题
6.函数fx在R上为奇函数,且x>0时,fx=+1,则当x<0时,fx=________.解析 令x<0,则-x>0,∴fx=-f-x=-+1,即x<0时,fx=-+1=--
1.答案 --
17.若fx是R上周期为5的奇函数,且满足f1=1,f2=2,则f3-f4=________.解析 由fx是R上周期为5的奇函数知f3=f-2=-f2=-2,f4=f-1=-f1=-1,∴f3-f4=-
1.答案 -
18.xx·辽宁五校联考已知fx是定义在R上的偶函数,在区间[0,+∞上为增函数,且f=0,则不等式fx>0的解集为________.解析 由已知fx在R上为偶函数,且f=0,∴fx>0等价于f|x|>f,又fx在[0,+∞上为增函数,∴|x|>,即x>或x<-.答案
二、解答题
9.已知定义在R上的奇函数fx有最小正周期2,且当x∈0,1时,fx=.1求f1和f-1的值;2求fx在[-1,1]上的解析式.解 1∵fx是周期为2的奇函数,∴f1=f1-2=f-1=-f1,∴f1=0,f-1=
0.2由题意知,f0=
0.当x∈-1,0时,-x∈0,
1.由fx是奇函数,∴fx=-f-x=-=-,综上,在[-1,1]上,fx=
10.已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解 1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2由1知fx在[-1,1]上是增函数,要使fx在[-1,a-2]上单调递增.结合fx的图象知所以1a≤3,故实数a的取值范围是1,3].能力提升题组建议用时20分钟
11.xx·昆明统考下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在-∞,0上单调递增的函数是 A.fx=x2B.fx=2|x|C.fx=log2D.fx=sinx解析 函数fx=x2是偶函数,但在区间-∞,0上单调递减,不合题意;函数fx=2|x|是偶函数,但在区间-∞,0上单调递减,不合题意;函数fx=log2是偶函数,且在区间-∞,0上单调递增,符合题意;函数fx=sinx是奇函数,不合题意.故选C.答案 C
12.xx·乳山一中模拟已知定义在R上的奇函数fx满足fx+1=-fx,且在[0,1上单调递增,记a=f,b=f2,c=f3,则a,b,c的大小关系为 A.a>b=cB.b>a=cC.b>c>aD.a>c>b解析 依题意得,fx+2=-fx+1=fx,即函数fx是以2为周期的函数,f2=f0=0,又f3=-f2=0,且fx在[0,1上是增函数,于是有f>f0=f2=f3,即a>b=c.答案 A
13.xx·杭州七校联考已知定义在R上的函数fx满足f2=,且对任意的x都有fx+3=-,则f8=________;f2015=________.解析 由fx+3=-,得fx+6=-=fx,故函数fx是周期为6的周期函数.故f8=f2=,f2015=f6×335+5=f5=-=-=-
5.答案 -
514.设函数fx是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.1证明y=fx是周期函数,并指出其周期;2若f1=2,求f2+f3的值;3若gx=x2+ax+3,且y=|fx|·gx是偶函数,求实数a的值.解 1由f=-f,且f-x=-fx,知f3+x=f=-f=-f-x=fx,所以y=fx是周期函数,且T=3是其一个周期.2因为fx为定义在R上的奇函数,所以f0=0,且f-1=-f1=-2,又T=3是y=fx的一个周期,所以f2+f3=f-1+f0=-2+0=-
2.3因为y=|fx|·gx是偶函数,且|f-x|=|-fx|=|fx|,所以|fx|为偶函数.故gx=x2+ax+3为偶函数,即g-x=gx恒成立,于是-x2+a-x+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=
0.。