2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用习题理新人教A版I

2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用习题理新人教A版I

一、填空题

1.xx·兰州诊断已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________.解析　|a－b|＝＝＝＝.答案　

2.xx·南通调研已知a＝1，－2，b＝x，2，且a∥b，则|b|＝________.解析　∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝－1，2，∴|b|＝＝.答案　

3.xx·广东卷在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝1，－2，＝2，1，则·等于________.解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝1，－2＋2，1＝3，－

1.∴·＝2×3＋－1×1＝

5.答案　

54.xx·东北三校联考向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b⊥2a－b，则向量a与b的夹角为________.解析　∵a＋b⊥2a－b，∴a＋b·2a－b＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.答案　90°

5.xx·苏州调研已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋1－tb.若b·c＝0，则实数t的值为________.解析　依题意得b·c＝ta·b＋1－tb2＝1－＝0，解得t＝

2.答案　

26.xx·湖北卷已知向量⊥，||＝3，则·＝________.解析　因为⊥，所以·＝

0.所以·＝·＋＝2＋·＝||2＋0＝32＝

9.答案　

97.xx·河南六市联考已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且a－b⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析　设向量a和b的夹角为θ.由题意知a－b·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∴θ＝.答案　

8.xx·苏北四市调研已知A－1，cosθ，Bsinθ，1，若|＋|＝|－|O为坐标原点，则锐角θ＝________.解析　法一　利用几何意义求解由已知可知，＋是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，－则是对角线向量，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此·＝0，∴锐角θ＝.法二　坐标法＋＝sinθ－1，cosθ＋1，－＝－sinθ－1，cosθ－1，由|＋|＝|－|可得sinθ－12＋cosθ＋12＝－sinθ－12＋cosθ－12，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.答案　

二、解答题

9.已知平面向量a＝，－1，b＝.1证明a⊥b；2若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋t2－3b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝ft.1证明　∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.2解　∵c＝a＋t2－3b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋t2－3b]·－ka＋tb＝－ka2＋tt2－3b2＋[t－kt2－3]a·b＝

0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝ft＝t≠

0.

10.已知|a|＝4，|b|＝3，2a－3b·2a＋b＝61，1求a与b的夹角θ；2求|a＋b|；3若＝a，＝b，求△ABC的面积.解　1∵2a－3b·2a＋b＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝

61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－

6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.2|a＋b|2＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×－6＋32＝13，∴|a＋b|＝.3∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝

3.建议用时20分钟

11.xx·沈阳质量监测在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·＝________.解析　法一　由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设＝＋，＝＋，因此·＝·＝2＋2＋·＝×4＋×1＝.法二　由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此·＝×＋×＝.答案　

12.xx·合肥质量检测在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的________.解析　假设BC的中点是O.则2－2＝＋·－＝2·＝2·，即－·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.答案　外心

13.xx·苏、锡、常、镇模拟设非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，则的最小值是________.解析　∵非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos，∴|b|2－|a||b|＝0，∴|b|＝|a|，∴＝＝＝t2－2t＋＝t－12＋，∴当t＝1时，取最小值是＝.答案　

14.已知平面上三点A，B，C，＝2－k，3，＝2，

4.1若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；2若△ABC为直角三角形，求k的值.解　1由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，∴42－k－2×3＝0，解得k＝.2∵＝2－k，3，∴＝k－2，－3，∴＝＋＝k，

1.若△ABC为直角三角形，则当A是直角时，⊥，即·＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，⊥，即·＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，解得k＝

8.综上得k的值为－2，－1，3，

8.。