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2019-2020年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第5节二项分布与正态分布高考AB卷理 条件概率与相互独立事件的概率
1.xx·全国Ⅰ,4投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为
0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 A.
0.648B.
0.432C.
0.36D.
0.312解析 该同学通过测试的概率为p=
0.6×
0.6+C×
0.4×
0.62=
0.
648.答案 A
2.xx·全国Ⅱ,5某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是
0.75,连续两天为优良的概率是
0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.
0.8B.
0.75C.
0.6D.
0.45解析 由条件概率可得所求概率为=
0.8,故选A.答案 A 正态分布
3.xx·全国Ⅰ,18从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图1求这500件产品质量指标值的样本平均数x-和样本方差s2同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;2由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布Nμ,σ2,其中μ近似为样本平均数x-,σ2近似为样本方差s
2.ⅰ利用该正态分布,求P
187.8Z
212.2;ⅱ某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间
187.8,
212.2的产品件数.利用ⅰ的结果,求EX.附≈
12.
2.若Z~Nμ,σ2,则Pμ-σZμ+σ=
0.6826,Pμ-2σZμ+2σ=
0.
9544.解 1抽取产品的质量指标值的样本平均数x-和样本方差s2分别为x-=170×
0.02+180×
0.09+190×
0.22+200×
0.33+210×
0.24+220×
0.08+230×
0.02=200,s2=-302×
0.02+-202×
0.09+-102×
0.22+0×
0.33+102×
0.24+202×
0.08+302×
0.02=
150.2ⅰ由1知,Z~N200,150,从而P
187.8Z
212.2=P200-
12.2Z200+
12.2=
0.
6826.ⅱ由ⅰ知,一件产品的质量指标值位于区间
187.8,
212.2的概率为
0.6826,依题意知X~B100,
0.6826,所以EX=100×
0.6826=
68.
26. 条件概率与相互独立事件的概率
1.xx·四川,12同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________.解析 由题可知,在一次试验中,试验成功即至少有一枚硬币正面向上的概率为P=1-×=,∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X~B,则EX=2×=.答案
2.xx·陕西,19在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表作物产量kg300500概率
0.
50.5作物市场价格元/kg610概率
0.
40.61设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;2若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.解 1设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知PA=
0.5,PB=
0.4,因为利润=产量×市场价格-成本,所以X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=
800.PX=4000=PP=1-
0.5×1-
0.4=
0.3,PX=2000=PPB+PAP=1-
0.5×
0.4+
0.5×1-
0.4=
0.5,PX=800=PAPB=
0.5×
0.4=
0.2,所以X的分布列为X40002000800P
0.
30.
50.22设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”i=1,2,3,由题意知C1,C2,C3相互独立,由1知,PCi=PX=4000+PX=2000=
0.3+
0.5=
0.8i=1,2,3,3季的利润均不少于2000元的概率为PC1C2C3=PC1PC2PC3=
0.83=
0.512;3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P1C2C3+PC12C3+PC1C23=3×
0.82×
0.2=
0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+
0.384=
0.
896.
3.xx·辽宁,19现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.1求张同学至少取到1道乙类题的概率;2已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解 1设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为P=eq\fCC=,所以PA=1-P=.2X所有的可能取值为0,1,2,
3.PX=0=C···=;PX=1=C···+C··=;PX=2=C···+C··=;PX=3=C···=.所以X的分布列为X0123P所以EX=0×+1×+2×+3×=
2.
4.xx·山东,19现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.1求该射手恰好命中一次的概率;2求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解 1记“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知PB=,PC=PD=,由于A=B+C+D,根据事件的独立性和互斥性得PA=PB+C+D=PB+PC+PD=PBPP+PPCP+PPPD=××+××+××=.2根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
5.根据事件的独立性和互斥性得PX=0=P=[1-PB][1-PC][1-PD]=1-××=,PX=1=PB=PBPP=××=,PX=2=PC+D=PC+PD=××+××=,PX=3=PBC+BD=PBC+PBD=××+××=,PX=4=PCD=××=,PX=5=PBCD=××=.故X的分布列为X012345P所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 正态分布
5.xx·湖南,7在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分曲线C为正态分布N0,1的密度曲线的点的个数的估计值为 附若X~Nμ,σ2,则Pμ-σ<X≤μ+σ=
0.6826,Pμ-2σ<X≤μ+2σ=
0.
9544.A.2386B.2718C.3413D.4772解析 由X~N0,1知,P-1<X≤1=
0.6826,∴P0≤X≤1=×
0.6826=
0.3413,故S≈
0.
3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为=古典概型,∴x=10000×
0.3413=3413,故选C.答案 C
6.xx·山东,8已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布N0,32,从中随机取一件,其长度误差落在区间3,6内的概率为 附若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2,则Pμ-σξμ+σ=
68.26%,Pμ-2σ<ξ<μ+2σ=
95.44%.A.
4.56%B.
13.59%C.
27.18%D.
31.74%解析 由题意,知P3<ξ<6===
13.59%.答案 B
7.xx·湖北,20假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N800,502的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p
0.1求p0的值;参考数据若X~Nμ,σ2,有Pμ-σX≤μ+σ=
0.6826,Pμ-2σX≤μ+2σ=
0.9544,Pμ-3σX≤μ+3σ=
0.
9974.2某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆,若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解 1由于随机变量X服从正态分布N800,502,故有μ=800,σ=50,P700X≤900=
0.
9544.由正态分布的对称性,可得p0=PX≤900=PX≤800+P800X≤900=+P700X≤900=
0.
9772.2设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意,x,y还需满足x+y≤21,y≤x+7,PX≤36x+60y≥p
0.由1知,p0=PX≤900,故PX≤36x+60y≥p0等价于36x+60y≥
900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.作可行域如图阴影部分所示,可行域的三个顶点坐标分别为P5,12,Q7,14,R15,
6.由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.。