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2019-2020年高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第7节函数与方程高考AB卷理 函数的零点与方程的根
1.xx·山东,10设函数fx=则满足ffa=2fa的a取值范围是 A.B.[0,1]C.D.[1+∞解析 当a=2时,fa=f2=22=4>1,ffa=2fa,∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=时,fa=f=3×-1=1,ffa=2fa,∴a=满足题意,排除D选项,故答案为C.答案 C
2.xx·天津,8已知函数fx=函数gx=b-f2-x,其中b∈R,若函数y=fx-gx恰有4个零点,则b的取值范围是 A.B.C.D.解析 记hx=-f2-x在同一坐标系中作出fx与hx的图象如图,直线AB y=x-4,当直线l∥AB且与fx的图象相切时,由解得b′=-,---4=,所以曲线hx向上平移个单位后,所得图象与fx的图象有四个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,fx与gx的图象有四个不同的交点,即y=fx-gx恰有4个零点.选D.答案 D
3.xx·湖南,10已知函数fx=x2+ex-x0与gx=x2+lnx+a的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是 A.B.C.D.解析 由题意可得,当x0时,y=f-x与y=gx的图象有交点,即gx=f-x有正解,即x2+lnx+a=-x2+e-x-有正解,即e-x-lnx+a-=0有正解,令Fx=e-x-lnx+a-,则F′x=-e-x-0,故函数Fx=e-x-lnx+a-在0,+∞上是单调递减的,要使方程gx=f-x有正解,则存在正数x使得Fx≥0,即e-x-lnx+a-≥0,所以a≤ee-x--x,又y=ee-x--x在0,+∞上单调递减,所以aee-0--0=e,选B.答案 B
4.xx·重庆,6若abc,则函数fx=x-a·x-b+x-bx-c+x-cx-a的两个零点分别位于区间 A.a,b和b,c内B.-∞,a和a,b内C.b,c和c,+∞内D.-∞,a和c,+∞内解析 由题意abc,可得fa=a-ba-c0,fb=b-cb-a0,fc=c-ac-b
0.显然fa·fb0,fb·fc0,所以该函数在a,b和b,c上均有零点,故选A.答案 A
5.xx·天津,4函数fx=2x+x3-2在区间0,1内的零点个数是 A.0B.1C.2D.3解析 令fx=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x
3.在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象,由图可知两个图象在区间0,1内只有一个交点,∴函数fx=2x+x3-2在区间0,1内有一个零点,故选B.答案 B
6.xx·山东,15已知函数fx=其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程fx=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.解析 如图,当x≤m时,fx=|x|;当xm时,fx=x2-2mx+4m,在m,+∞为增函数,若存在实数b,使方程fx=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m|m|.∵m0,∴m2-3m0,解得m
3.答案 3,+∞
7.xx·湖南,15已知函数fx=若存在实数b,使函数gx=fx-b有两个零点,则a的取值范围是________.解析 若0≤a≤1时,函数fx=在R上递增,若a>1或a<0时,由图象知y=fx-b存在b使之有两个零点,故a∈-∞,0∪1,+∞.答案 -∞,0∪1,+∞
8.xx·安徽,15设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________写出所有正确条件的编号.
①a=-3,b=-3;
②a=-3,b=2;
③a=-3,b2;
④a=0,b=2;
⑤a=1,b=
2.解析 令fx=x3+ax+b,f′x=3x2+a,当a≥0时,f′x≥0,fx单调递增,必有一个实根,
④⑤正确;当a0时,由于选项当中a=-3,∴只考虑a=-3这一种情况,f′x=3x2-3=3x+1x-1,∴fx极大=f-1=-1+3+b=b+2,fx极小=f1=1-3+b=b-2,要有一根,fx极大0或fx极小0,∴b-2或b2,
①③正确,所有正确条件为
①③④⑤.]答案
①③④⑤
9.xx·北京,14设函数fx=1若a=1,则fx的最小值为________;2若fx恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.解析 1当a=1时,fx=当x1时,-1<2x-1<
1.当x≥1时,且当x=时,fxmin=f=-1,∴fx最小值为-
1.21°当a≤0时,2x-a0,由4x-ax-2a=0得x=a或x=2a.a∉[1,+∞,2a∉[1,+∞,∴此时fx无零点.2°当0a1时,若有2个零点,只须∴≤a
1.3°当1≤a2时,x<1,2x=a,x=log2a∈[0,1,x≥1时,由fx=0,得x=a或2a,a∈[1,+∞.2a∈[1,+∞,有3个零点,不合题意.4°当a≥2时,x1,则2x-a0,x≥1时,由fx=0,得x=a或2a,a,2a∈[1,+∞,此时恰有2个零点,综上≤a<1或a≥
2.答案 1-1 2∪[2,+∞
10.xx·陕西,21已知函数fx=ex,x∈R.1若直线y=kx+1与fx的反函数的图象相切,求实数k的值;2设x0,讨论曲线y=fx与曲线y=mx2m0公共点的个数;3设ab,比较与的大小,并说明理由.解 1fx的反函数为gx=lnx.设直线y=kx+1与gx=lnx的图象在Px0,y0处相切,则有y0=kx0+1=lnx0,k=g′x0=,解得x0=e2,k=.2曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数.令φx=,则φ′x=,∴φ′2=
0.当x∈0,2时,φ′x0,φx在0,2上单调递减;当x∈2,+∞时,φ′x0,φx在2,+∞上单调递增,∴φx在0,+∞上的最小值为φ2=.当0m时,曲线y=与y=m无公共点;当m=时,曲线y=与y=m恰有一个公共点;当m时,在区间0,2内存在x1=,使得φx1m,在2,+∞内存在x2=me2,使得φx2m通过证明φx2=eq\fex2xx2即可.由φx的单调性知,曲线y=与y=m在0,+∞上恰有两个公共点.综上所述,当x0时,若0m,曲线y=fx与y=mx2没有公共点;若m=,曲线y=fx与y=mx2有一个公共点;若m,曲线y=fx与y=mx2有两个公共点.3可以证明.事实上,⇔⇔⇔1-⇔1-ba.*令φx=+-1x≥0,则φ′x=-==≥0当且仅当x=0时等号成立,∴φx在[0,+∞上单调递增,∴x0时,φxφ0=
0.令x=b-a,即得*式,结论得证.。