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2019-2020年高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第四节解三角形AB卷文新人教A版
1.xx·新课标全国Ⅰ,4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b= A.B.C.2D.3解析 由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3,故选D.答案 D
2.xx·新课标全国Ⅱ,15△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.解析 在△ABC中由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得b==.答案
3.xx·新课标全国Ⅰ,17已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.1若a=b,求cosB;2设B=90°,且a=,求△ABC的面积.解 1由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB==.2由1知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b
2.故a2+c2=2ac,得c=a=.所以△ABC的面积为
1.
4.xx·新课标全国Ⅱ,4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 A.2+2B.+1C.2-2D.-1解析 由正弦定理=及已知条件得c=
2.又sinA=sinB+C=×+×=,∴S△ABC=×2×2×=+1,故选B.答案 B
5.xx·新课标全国Ⅰ,10已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于 A.10B.9C.8D.5解析 由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cosA=.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0,解得b=-舍或b=5,故选D.答案 D
6.xx·新课标全国Ⅰ,16如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=________m.解析 在三角形ABC中,AC=100,在三角形MAC中,=,解得MA=100,在三角形MNA中,=sin60°=,故MN=150,即山高MN为150m.答案
1507.xx·新课标全国Ⅱ,17在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.1求;2若∠BAC=60°,求∠B.解 1由正弦定理得=,=.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以==.2因为∠C=180°-∠BAC+∠B,∠BAC=60°,所以sin∠C=sin∠BAC+∠B=cos∠B+sin∠B.由1知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.
1.xx·广东,5设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=,且bc,则b= A.B.2C.2D.解析 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-2×b×2×,即b2-6b+8=0,∴b=4或b=2,又bc,∴b=
2.答案 C
2.xx·北京,5在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB等于 A.B.C.D.1解析 根据正弦定理,=,则sinB=sinA=·=,故选B.答案 B
3.xx·湖南,5在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于 A.B.C.D.解析 由正弦定理=.又2asinB=b,即=.则有=,可得sinA=,由于△ABC是锐角三角形,故A=.答案 A
4.xx·山东,7△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c等于 A.2B.2C.D.1解析 由正弦定理得=,即=,所以cosA=,又A∈0,π,所以A=,B=,C=,c==
2.答案 B
5.xx·安徽,9设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C等于 A.B.C.D.解析 由3sinA=5sinB,得b=a.又b+c=2a,所以c=2a-b=a.由余弦定理可得cosC==-,C∈0,π,所以C=.答案 B
6.xx·北京,13在△ABC中,∠A=,a=c,则=________.解析 由=得sinC==×=,又0<C<,所以C=,B=π-A+C=.所以===
1.答案
17.xx·北京,11在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=________.解析 由正弦定理得sin∠B===,因为∠A为钝角,所以∠B=.答案
8.xx·重庆,13设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.解析 由3sinA=2sinB,得3a=2b,∴b=a=×2=3,在△ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=16,解得c=
4.答案
49.xx·安徽,12在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.解析 由已知∠C=60°,由正弦定理得=,∴AC===
2.答案
210.xx·湖北,13在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=________.解析 由正弦定理=得sinB==,又B∈,所以B=或.答案 或
11.xx·福建,14在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于________.解析 在△ABC中,根据正弦定理,得=,所以=,解得sinB=1,因为B∈0,π,所以B=,所以AB==
1.答案
112.xx·北京,12在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=________;sinA=________.解析 根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×=4,故c=2,因为cosC=,于是sinC==,于是,由正弦定理,sinA===或由a=1,b=2,c=2,得cosA==,于是,sinA==.答案 2
13.xx·浙江,16在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.1证明A=2B;2若cosB=,求cosC的值.1证明 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sinA+B=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sinA-B.又A,B∈0,π,故0<A-B<π,所以B=π-A-B或B=A-B,因此A=π舍去或A=2B,所以,A=2B.2解 由cosB=得sinB=,cos2B=2cos2B-1=-,故cosA=-,sinA=,cosC=-cosA+B=-cosAcosB+sinAsinB=.
14.xx·江苏,15在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.1求BC的长;2求sin2C的值.解 1由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.2由正弦定理知,=,所以sinC=·sinA==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinC·cosC=2××=.
15.xx·重庆,18在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=
8.1若a=2,b=,求cosC的值;2若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.解 1由题意可知c=8-a+b=.由余弦定理得cosC===-.2由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得sinA·+sinB·=2sinC,化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因为sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c.又因a+b+c=8,故a+b=
6.由于S=absinC=sinC,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=
3.
16.xx·山东,17△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.1求b的值;2求△ABC的面积.解 1在△ABC中,由题意知sinA==,又因为B=A+,所以sinB=sin=cosA=.由正弦定理可得b===
3.2由B=A+得cosB=cos=-sinA=-.由A+B+C=π,得C=π-A+B.所以sinC=sin[π-A+B]=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.因此△ABC的面积S=absinC=×3×3×=.
17.xx·陕西,16△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.1若a,b,c成等差数列,证明sinA+sinC=2sinA+C;2若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.1证明 ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-A+C]=sinA+C,∴sinA+sinC=2sinA+C.2解 由题设有b2=ac,c=2a,∴b=a,由余弦定理得cosB===.
18.xx·山东,8△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b21-sinA,则A= A.B.C.D.解析 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,∵b=c,∴a2=2b21-cosA,又∵a2=2b21-sinA,∴cosA=sinA,∴tanA=1,∵A∈0,π,∴A=,故选C.答案 C
19.xx·四川,8如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于 A.240-1mB.180-1mC.120-1mD.30+1m解析 ∵tan15°=tan60°-45°==2-,∴BC=60tan60°-60tan15°=120-1m,故选C.答案 C
20.xx·湖北,15如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.解析 依题意,在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=45°,由正弦定理得=,得BC=300,在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=100m.答案
10021.xx·上海,5已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是________.解析 由a2+ab+b2-c2=0可得a2+b2-c2=-ab;由余弦定理得cosC==-,所以C=.答案
22.xx·陕西,13在△ABC中,角A、B、C所对应的边的长分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b=________.解析 由余弦定理,得b2=22+22-2×2×2cos=4+12-12=4,所以b=
2.故填
2.答案
223.xx·四川,18在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.1证明sinAsinB=sinC;2若b2+c2-a2=bc,求tanB.1证明 根据正弦定理,可设===kk
0.则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B.在△ABC中,由A+B+C=π,有sinA+B=sinπ-C=sinC,所以sinAsinB=sinC.2解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA==.所以sinA==.由1知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==
4.
24.xx·天津,16在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-.1求a和sinC的值;2求cos的值.解 1在△ABC中,由cosA=-,可得sinA=.由S△ABC=bcsinA=3,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=
4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=
8.由=,得sinC=.2cos=cos2A·cos-sin2A·sin=2cos2A-1-×2sinA·cosA=.
25.xx·山东,17在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=,sinA+B=,ac=2,求sinA和c的值.解 在△ABC中,由cosB=,得sinB=,因为A+B+C=π,所以sinC=sinA+B=.因为sinC<sinB,所以C<B,可知C为锐角.所以cosC=.因此sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.由=,可得a===2c,又ac=2,所以c=
1.
26.xx·湖南,17设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.1证明sinB=cosA;2若sinC-sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.解 1由正弦定理知===2R,∴a=2RsinA,b=2RsinB,代入a=btanA得∴sinA=sinB·,又∵A∈0,π,∴sinA>0,∴1=,即sinB=cosA.2由sinC-sinAcosB=知,sinA+B-sinAcosB=,∴cosAsinB=.由1知,sinB=cosA,∴cos2A=,由于B是钝角,故A∈,∴cosA=,A=.sinB=,B=,∴C=π-A+B=.
27.xx·浙江,16在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=
2.1求的值;2若B=,a=3,求△ABC的面积.解 1由tan=2,得tanA=.所以==.2由tanA=,A∈0,π,得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=
3.由sinC=sinA+B=sin得sinC=,设△ABC的面积为S,则S=absinC=
9.
28.xx·湖南,19如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.1求sin∠CED的值;2求BE的长.解 如题图,设∠CED=α.1在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=
0.解得CD=2CD=-3舍去.在△CDE中,由正弦定理,得=,于是,sinα===,即sin∠CED=.2由题设知,0<α<,于是由1知,cosα===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscosα+sinsinα=-cosα+sinα=-·+·=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===
4.。