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2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题三数列第1讲等差数列等比数列的基本问题练习
一、填空题
1.xx·南通模拟在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为________.解析 设数列{an}的公差为d,∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10,∴2a5+3d+3a5-2d=10,∴5a5=10,∴a5=
2.答案
22.在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15=________.解析 设等比数列{an}的公比为q,由已知,得解得q4=.又a9+a11=a1q8+a3q8=a1+a3q8=8×=2,a13+a15=a1q12+a3q12=a1+a3q12=8×=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=
3.答案
33.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.解析 根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>
0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.答案
84.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于________.解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即a1+62=a1+2a1+14,∴a1=
2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=nn+
1.答案 nn+
15.xx·宿迁调研设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于________.解析 依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有S20-S102=S10S30-S20,即S20-102=1070-S20,故S20=-20或S20=
30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,则S40=S30+=70+=
150.答案
1506.若a,b是函数fx=x2-px+qp>0,q>0的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q=________.解析 由题意知a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>
0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-22,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得或∴p=5,q=4,∴p+q=
9.答案
97.xx·全国Ⅰ卷设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为__________.解析 设等比数列{an}的公比为q,∴⇒解得∴a1a2…an===,当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为
64.答案
648.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.解析 设数列{an}的首项和公差分别为a1,d,则则nSn=n=-n
2.设函数fx=-x2,则f′x=x2-x,当x∈时,f′x<0;当x∈时,f′x>0,所以函数fxmin=f,但6<<7,且f6=-48,f7=-49,因为-48>-49,所以最小值为-
49.答案 -49
二、解答题
9.xx·全国Ⅲ卷已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠
0.1证明{an}是等比数列,并求其通项公式;2若S5=,求λ.1证明 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠
0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1λ-1=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=.2解 由1得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-
1.
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,1证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;2证明++…+.证明 1由an+1=3an+1,得an+1+=
3.又a1+=,所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.2由1知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=.所以++…+.
11.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点an+1,Sn在直线2x+y-2=0上.1求数列{an}的通项公式;2是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解 1由题意,可得2an+1+Sn-2=
0.
①当n≥2时,2an+Sn-1-2=
0.
②①-
②,得2an+1-2an+an=0,所以=n≥
2.因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an=.2由1知,Sn==2-.若为等差数列,则S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差数列,则2=S1++S3+,即2=1+++,解得λ=
2.又λ=2时,Sn+2n+=2n+2,显然{2n+2}成等差数列,故存在实数λ=2,使得数列{Sn+λn+}成等差数列.。