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2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲第2课时定点定值范围最值问题练习理北师大版
一、选择题
1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析 Q-2,0,设直线l的方程为y=kx+2,代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+4k2-8x+4k2=0,由Δ=4k2-82-4k2·4k2=641-k2≥0,解得-1≤k≤
1.答案 C
2.xx·石家庄模拟已知P为双曲线C-=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为 A.B.C.4D.5解析 由·=0,得OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点±3,0,而双曲线的渐近线为4x±3y=0,∴所求的距离d=,故选B.答案 B
3.已知椭圆C的方程为+=1m>0,如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为 A.2B.2C.8D.2解析 根据已知条件得c=,则点,在椭圆+=1m>0上,∴+=1,可得m=
2.答案 B
4.若双曲线-=1a>0,b>0的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A.[3,+∞B.3,+∞C.1,3]D.1,3解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x,与抛物线方程联立消去y得x2±x+2=
0.∵渐近线与抛物线有交点,∴Δ=-8≥0,求得b2≥8a2,∴c=≥3a,∴e=≥
3.答案 A
5.xx·宝鸡一模斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 A.2B.C.D.解析 设A,B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4t2-1=0,则x1+x2=-t,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=·=·=·,当t=0时,|AB|max=.答案 C
二、填空题
6.已知双曲线-=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.解析 由条件知双曲线的焦点为4,0,所以解得a=2,b=2,故双曲线方程为-=
1.答案 -=
17.已知动点Px,y在椭圆+=1上,若A点坐标为3,0,||=1,且·=0,则||的最小值是________.解析 ∵·=0,∴⊥.∴||2=||2-||2=||2-1,∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.答案
8.xx·平顶山模拟若双曲线x2-=1b>0的一条渐近线与圆x2+y-22=1至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y=±bx,则有≥1,解得b2≤3,则e2=1+b2≤4,∵e>1,∴1<e≤
2.答案 1,2]
三、解答题
9.如图,椭圆E+=1ab0的离心率是,点P0,1在短轴CD上,且·=-
1.1求椭圆E的方程;2设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解 1由已知,点C,D的坐标分别为0,-b,0,b.又点P的坐标为0,1,且·=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆E方程为+=
1.2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y
2.联立得2k2+1x2+4kx-2=
0.其判别式Δ=4k2+82k2+10,所以,x1+x2=-,x1x2=-.从而,·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+y1-1y2-1]=1+λ1+k2x1x2+kx1+x2+1==--λ-
2.所以,当λ=1时,--λ-2=-
3.此时,·+λ·=-3为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,此时·+λ·=·+·=-2-1=-3,故存在常数λ=1,使得·+λ·为定值-
3.
10.xx·浙江卷如图,设椭圆+y2=1a>
1.1求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长用a,k表示;2若任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解 1设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,由得1+a2k2x2+2a2kx=
0.故x1=0,x2=-,因此|AM|=|x1-x2|=·.2假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k
2.由1知|AP|=eq\f2a2|k1|\r1+k1+a2k,|AQ|=eq\f2a2|k2|\r1+k1+a2k,故eq\f2a2|k1|\r1+k1+a2k=eq\f2a2|k2|\r1+k1+a2k,所以k-k[1+k+k+a22-a2kk]=
0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k+k+a22-a2kk=0,因此eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1k+1eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1k+1=1+a2a2-2,
①因为
①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2a2-2>1,所以a>.因此,任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,由e==得,所求离心率的取值范围是.能力提升题组建议用时25分钟
11.xx·湖南师大附中月考设双曲线C-=1a>0,b>0的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0,若x0>1,则双曲线C的离心率e的取值范围是 A.B.,+∞C.1,D.解析 不妨联立y=x与y2=x的方程,消去y得x2=x,由x0>1知<1,即<1,故e2<2,又e>1,所以1<e<,故选C.答案 C
12.xx·河南省八市质检已知双曲线-=1a>0,b>0的离心率为2,它的两条渐近线与抛物线y2=2pxp>0的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若△AOB的面积为,则抛物线的准线方程为 A.x=-2B.x=2C.x=1D.x=-1解析 因为e==2,所以c=2a,b=a,双曲线的渐近线方程为y=±x,又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A,B,在△AOB中,|AB|=p,点O到AB的距离为,所以·p·=,所以p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选D.答案 D
13.xx·合肥模拟若点O和点F分别为椭圆+=1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则·的最小值为________.解析 点P为椭圆+=1上的任意一点,设Px,y-3≤x≤3,-2≤y≤2,依题意得左焦点F-1,0,∴=x,y,=x+1,y,∴·=xx+1+y2=x2+x+=+.∵-3≤x≤3,∴≤x+≤,∴≤≤,∴≤≤,∴6≤+≤12,即6≤·≤12,故最小值为
6.答案
614.xx·衡水中学高三联考已知椭圆C+=1a>b>0短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x+4y+6=0与圆x2+y-b2=a2相切.1求椭圆C的方程;2已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点,且l1⊥l2,求证直线MN过定点,并求出定点坐标;3在2的条件下求△AMN面积的最大值.解 1由题意,得∴即C+y2=
1.2由题意得直线l1,l2的斜率存在且不为
0.∵A-2,0,设l1x=my-2,l2x=-y-2,由得m2+4y2-4my=0,∴M.同理,N.
①m≠±1时,kMN=,lMN y=.此时过定点.
②m=±1时,lMN x=-,过点.∴lMN恒过定点.3由2知S△AMN=×|yM-yN|==8==.令t=≥2,当且仅当m=±1时取等号,∴S△AMN≤,且当m=±1时取等号.∴S△AMNmax=.。