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2019-2020年高考数学第二章函数概念与基本初等函数专题7指数与指数函数考场高招大全考点14指数函数的图像与性质考场高招1与指数函数有关的图象问题的求解方法
1.解读高招
2.典例指引11函数y=ax-a0a≠1的图象可能是 2若关于x的方程|ax-1|=2aa0且a≠1有两个不等实根则a的取值范围是 A.01∪1+∞B.01C.1+∞D.【答案】1D 2D【解析】1函数y=ax-的图象可由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到A项显然错误;当a1时01平移距离小于1所以B项错误;当0a1时1平移距离大于1所以C项错误.故选D.2方程|ax-1|=2aa0且a≠1有两个实数根转化为函数y=|ax-1|的图象与直线y=2a有两个交点.
①当0a1时如图a所以02a1即0a;
②当a1时如图b而y=2a1不符合要求.图a图b所以0a故选D.
2.亲临考场
1.xx四川理7函数y=的图象大致是 【答案】C
2.(xx广西河池市示范性高中二联)函数的图象()A.关于原点对称B.关于直线对称C.关于轴对称D.关于轴对称【答案】D【解析】化简得为偶函数图象关于轴对称故选D.
3.xx·湖南文14若函数fx=-b有两个零点则实数b的取值范围是________.【答案】02【解析】将函数fx=-b的零点个数问题转化为函数y=的图象与直线y=b的交点个数问题数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y=与y=b的图象如图所示.∴当0b2时两函数图象有两个交点从而函数fx=-b有两个零点.∴b的取值范围是02.考场高招2与指数函数有关的复合函数问题的求解方法
1.解读高招
2.典例指引21设函数y=fx在区间-∞1]上有定义对于给定的实数K定义定义fKx=给出函数fx=2x+1-4x若对于任意x∈-∞1]恒有fKx=fx则 A.K的最大值为0B.K的最小值为0C.K的最大值为1D.K的最小值为12函数fx=的单调递增区间为 单调递减区间为 . 3对于给定的函数fx=ax-a-xx∈Ra0a≠1下面给出五个命题其中真命题是 .只需写出所有真命题的序号
①函数fx的图象关于原点对称;
②函数fx在R上不具有单调性;
③函数f|x|的图象关于y轴对称;
④当0a1时函数f|x|的最大值是0;
⑤当a1时函数f|x|的最大值是
0.【答案】1D 2[4+∞ -∞1] 3
①③④2依题意知x2-5x+4≥0解得x≥4或x≤1令u=x∈-∞1]∪[4+∞∴当x∈-∞1]时u是减函数当x∈[4+∞时u是增函数.而31∴由复合函数的单调性可知fx=在区间-∞1]上是减函数在区间[4+∞内是增函数.
3.亲临考场
1.xx安徽理6已知一元二次不等式fx0的解集为则f10x0的解集为 A.{x|x-1或x-lg2}B.{x|-1x-lg2}C.{x|x-lg2}D.{x|x-lg2}【答案】D 【解析】由题意知-110x所以xlg=-lg2故选D.
2.xx河北石家庄一检已知函数fx=则ffx2的解集为 A.1-ln2+∞B.-∞1-ln2C.1-ln21D.11+ln2【答案】B 【解析】因为当x≥1时fx=x3+x≥2;当x1时fx=2ex-12所以ffx2等价于fx1即2ex-11解得x1-ln
2.所以ffx2的解集为-∞1-ln2故选B.
3.xx山东理14已知函数fx=ax+ba0a≠1的定义域和值域都是[-10]则a+b= . 【解析】fx=ax+b是单调函数当a1时fx是增函数∴无解.当0a1时fx是减函数∴综上a+b=+-2=-.
4.已知函数fx=b·ax其中ab为常量且a0a≠1的图象经过点A16B
324.若不等式-m≥0在x∈-∞1]上恒成立则实数m的最大值为 .【答案】考点15与指数函数相关的综合问题考场高招3处理含参数指数函数的三大技巧
1.解读高招技巧解读适合题型典例指引1巧用转化当a1时afx≥agx恒成立⇔fx≥gx恒成立⇔fx-gx≥0恒成立⇔[fx-gx]min≥0再构造函数hx=fx-gx求出hx的最小值即可.当0a1时afx≥agx恒成立⇔fx≤gx恒成立⇔fx-gx≤0恒成立⇔[fx-gx]max≤0进一步求得相应函数的最大值即可与指数函数有关的恒成立问题例312巧用性质首先研究所给函数的性质注意对字母参数的讨论;然后根据函数的性质探究函数中所给参数的取值范围有时还要结合对范围的讨论;最后将上述讨论得到的结论进行归纳得到完整的求解结论适用于函数性质受参数取值影响而发生变化的含参问题例333巧借图象根据函数表达式能确定其图象然后采用数形结合思想求解满足条件的参数范围适用于参数有明显的几何意义的问题例
322.典例指引31函数y=1+2x+a·4x在x∈-∞1]上y0恒成立则a的取值范围是 . 2当x∈
[12]时函数y=x2与y=axa0的图象有交点则a的取值范围是 . 3已知函数fx=的值域是[-81]则实数a的取值范围是 . 【答案】1 2 2巧借图象当a1时如图
①所示使得两个函数图象有交点需满足·22≥a2即1a≤;图
①当0a1时如图
②所示需满足·12≤a1即≤a1综上可知a∈.图
②3巧用性质当0≤x≤4时fx∈[-81]当a≤x0时fx∈所以⫋[-81]即-8≤--1即-3≤a
0.所以实数a的取值范围是[-
30.
3.亲临考场1xx四川理13某食品的保鲜时间y单位:小时与储藏温度x单位:℃满足函数关系y=ekx+be=
2.718…为自然对数的底数kb为常数.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时在22℃的保鲜时间是48小时则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 【答案】
242.xx广东东莞模拟已知函数fx=若f8-m2f2m则实数m的取值范围是 .【答案】-42【解析】∵函数fx=∴函数fx在R上单调递减由f8-m2f2m得8-m22m解得-4m2故答案为-
42.
3.已知函数fx=若函数y=fx-kx有3个零点则实数k的取值范围是 .【答案】1+∞【解析】由y=fx-kx=0得fx=kx.因为f0=e0-1=0所以x=0是函数y=fx-kx的一个零点.当x0时由fx=kx得-x2+x=kx即x=-k0解得k;当x0时fx=ex-1fx=ex∈1+∞因为x0所以要使函数y=fx-kx在x0时有一个零点则k
1.又k所以k1即实数k的取值范围是1+∞.
4.xx辽宁鞍山四模当x∈-∞1]不等式0恒成立则实数a的取值范围为 【答案】a-
4.考场秘笈【高手解惑】已知函数Fx=ex满足Fx=gx+hx且gxhx分别是R上的偶函数和奇函数若∀x∈02]使得不等式g2x-ahx≥0恒成立则实数a的取值范围是 A.-∞2B.-∞2]C.02]D.2+∞.考生困惑1利用函数的奇偶性无法顺利求解函数gxhx的解析式;
(2)不等式g2x-ahx≥0恒成立的转化方向不明确无法利用分离参数化法得到参数的不等关系.
(3)对复杂式子的计算化简没有方向.解惑绝招第一步借助奇偶性解方程求解析式首先借助函数的奇偶性求解F-x然后与Fx联立方程组求解函数gxhx的解析式;第二步化简不等式分离参数明方向利用函数gx求解g2x代入hx准确化简g2x-ahx≥0关注参数a前的系数为正采用分离参数法将不等式恒成立问题转化函数的最值问题;第三步借助换元法利用基本不等式求最值研究函数y=的最小值首先利用e2x+e-2x=(ex-e-x)2+2进行化简然后采用换元法令t=ex-e-x并确定新元t的范围最后才有基本不等式求得函数的最小值进而求解参数a的范围.【解析】因为Fx=gx+hx且gxhx分别是R上的偶函数和奇函数所以gx+hx=exg-x+h-x=e-x即gx-hx=e-x解得gx=hx=对∀x∈02]使得不等式g2x-ahx≥0恒成立等价为-a·≥0即a≤==ex-e-x+设t=ex-e-x则函数t=ex-e-x在区间
[12]上单调递增所以e-e-1≤t≤e2-e-2此时t+≥2=2所以a≤2实数a的取值范围是-∞2]故选B.。