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2019-2020年高中数学
1.
1.2弧度制学案新人教A版必修41.理解并掌握弧度制的定义,理解1弧度的定义,能熟练进行弧度与角度的互化.2.理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式,能运用弧长、扇形面积公式计算.
一、弧度制的概念1.弧度制我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2.正角、零角、负角的弧度数.1正角的弧度数是一个正数;2零角的弧度数是零;3负角的弧度数是一个负数.1.一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆的半径大小有关吗?解析由弧度定义,一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的,与圆的半径大小无关.
二、角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的换算因为周角所对的弧是整个圆周,其长为2π·r,所以周角的弧度数是2π,但周角又等于360°,所以360°=2π,所以180°=π,故得1°=rad,1rad=°≈
57.3°=57°18′.附完成常用角的弧度角度换算表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π2.如何理解在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系?解析在角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系每一个角都有唯一的一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应,就是弧度数或度数等于这个实数的角.由于角度制是六十进位制,而弧度制是十进位制,故在弧度制下,研究问题更加方便.
三、弧长公式与扇形面积公式1.角度制半径为R,圆心角为n°的扇形中,圆心角所对的弧长l和面积S分别为弧长l=,扇形的面积S=.2.弧度制半径为R,圆心角为αrad的扇形中,圆心角所对的弧长l和面积S分别为弧长l=|α|r,扇形的面积S=l·r=|α|·r2.练习扇形弧长为π,面积为π,圆的半径是2.解析弧长l=π.∵S扇=lr=π,∴×πr=π,即r=2,∴圆的半径为
2.3.根据扇形的面积公式和弧长公式,在弧长,面积,圆心角,半径四个量中,可以知道几个量就可以求出其他的量?解析只需知道两个量就可以求出其他量.例如已知扇形的弧长为π,面积为π,则可求所在圆的半径R和圆心角α.由l=|α|·r,得π=|α|·r⇒|α|=,又由S=|α|·r2,得π=|α|·r2,将|α|=代入得π=··r2,解得r=
2.1.下列说法正确的是AA.1弧度角的大小与圆的半径无关B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角解析∵1rad==
57.3°=57°18′,其大小与圆的半径无关.2.某扇形的面积为1cm2,周长为4cm,那么该扇形圆心角的弧度数为BA.2° B.2 C.4° D.4解析∵4=|α|·r+2r⇒r=,且1=|α|·r2,∴1=|α|·,解得|α|=2,故选B.
3.若将钟表拨慢30分钟,则时针转了多少度?多少弧度?分针转了多少度?多少弧度?解析钟表拨慢30分钟,按逆时针方向旋转,为正角.时针转了30×=15°,表示15°,弧度;分针转了30×,表示180°,π弧度.4.1将-300°化为弧度是-π;2将π化为度数是288°.解析1-300°=-300×=-;2π=×180°=288°.1.下列四个命题中,不正确的一个是DA.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2.-π所在的象限是DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析-π=-2π-π.∵-π是第四象限角,∴-π是第四象限角.3.将-1485°化成2kπ+α,0≤α2π,k∈Z的形式是DA.-8π+B.-8π-C.-10π-D.-10π+4.若α=-2,则α的终边落在CA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵-π-2-,∴α的终边在第三象限.故选C.5.已知半径为1的扇形面积为π,则扇形的圆心角为CA.πB.πC.πD.π6.集合A=,B=的关系是AA.A=BB.ABC.BAD.以上都不对解析B=∪==A.故选A.7.地球赤道的半径是6370km,赤道上1′所对的弧长为1海里,则1海里大约是________km精确到
0.01km.解析∵1′=°=×弧度,∴l=α·R=××6370≈
1.85km.答案
1.858.把下列角化成α+2kπ0≤α<2π,k∈Z的形式,写出终边相同的角的集合,并指出它是第几象限角.1-;2-1395°;3-
20.解析1-=+-8·2π,它是第二象限角.终边相同的角的集合为.2-1395°=45°+-4·360°=+-4·2π,它是第一象限角.终边相同的角的集合为.3-20=8π-20+-4·2π.而<8π-20<2π,∴-20是第四象限角.终边相同的角的集合为{α|α=8π-20+2kπ,k∈Z}.9.若α是第二象限角,则-α、π+α、π-α、+α分别是第几象限的角?解析∵α为第二象限角,∴-α与α的终边关于x轴对称.∴-α是第三象限的角.∵π+α的终边是由α的终边绕O沿逆时针旋转π弧度得到,∴π+α是第四象限角.-α的终边可看成由α的终边关于x轴对称,-α是第三象限,再将-α的终边绕O按逆时针方向旋转180°到第一象限,故π-α是第一象限.易知+α是第三象限.10.已知扇形的周长为30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解析S=lr=×30-2r×r=-r2+15r=-+当r=时,Smax=,此时θ===2rad.故半径为cm,圆心角为2弧度时,扇形面积最大,最大面积为cm
2.11.一条弦的长度等于半径r,求1这条弦所对的劣弧长;2这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.分析由已知推断圆心角的大小为,然后用公式求解.解析1半径为r的⊙O中,弦AB=r,则△OAB为等边三角形,∠AOB=,则弦AB所对的劣弧长为r.2S△OAB=AB·OD=r·r=,S扇形OAB=lr=··r=r2,∴S弓形=S扇形OAB-S△OAB=r2-r2=r
2.1.角度与弧度的互化.1角度与弧度互化时,注意换算公式的应用.设一个角的弧度数为α,角度为n°,则αrad=°,n°=n·rad.2如果角度制n是以“度、分、秒”形式给出的,要先把n化成以“度”为单位的十进制表示.2.弧长公式、扇形面积公式的应用.在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及联系,在圆心角、半径、弧长、面积这些量中,只要知道其中两个量,便可求出其他的量,注意与扇形中其他量的联系.如弦心距、弦的一半与半径构成直角三角形等.。