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文本内容:
2019-2020年高中数学
1.
2.1绝对值三角不等式练习新人教A版选修4-51.理解绝对值的几何意义.2.能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式1|a+b|≤|a|+|b|;2|a-b|≤|a-c|+|c-b|.1.研究在绝对值符号内含有未知数的不等式也称绝对值不等式,关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的意义.在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.即|x|=思考1 求下列各数的绝对值13;2-8;
30.答案:13 28 302.绝对值三角不等式定理1如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.关于定理1的几点说明1定理1的证明|a+b|≤|a|+|b|⇔a+b2≤|a|+|b|2⇔a2+b2+2ab≤a2+b2+2|a||b|⇔ab≤|a||b|⇔ab≤|ab|,由已知知识可知ab≤|ab|一定成立,因而不等式|a+b|≤|a|+|b|成立.又由于上面每一步都是恒等变形及ab=|ab|⇔ab≥0可知,当且仅当ab≥0时,等号成立.2对定理的几何说明,实际上是利用了绝对值的几何意义,证明了不等式|a+b|≤|a|+|b|.3定理1还可以变形为|a-b|≤|a|+|b|,等号成立的充要条件是ab≤
0.4由定理1还可以得出许多正确的结论,例如如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.思考2 说出下列不等式等号成立的条件1|a|+|b|≥|a+b|;2|a|-|b|≤|a+b|;3|a-c|≤|a-b|+|b-c|.答案:1等号成立的条件是ab≥0;2等号成立的条件是ab≤0且a≥b.3等号成立的条件是a-bb-c≥03.含有绝对值的不等式的证明中,常常利用|a|≥a,|a|≥-a及绝对值的和的性质.思考3 当|a|a时,a∈________;当|a|-a时,a∈0,+∞.答案:-∞,0 1.若|x-a|m,|y-a|n,则下列不等式一定成立的是 A.|x-y|2mB.|x-y|2nC.|x-y|n-mD.|x-y|n+m答案:D2.设ab0,下面四个不等式
①|a+b||a|;
②|a+b||b|;
③|a+b||a-b|;
④|a+b||a|-|b|.其中正确的是 A.
①②B.
①③C.
①④D.
②④答案:C3.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是________,最小值是________.答案:5 04.方程|x|+|logax|=|x+logax|a1的解集是________________.答案:{x|x≥1}5.|x-A|,|y-A|是|x-y|ε的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案:A6.若不等式|x-4|+|x-3|a对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 A.-∞,1B.1,+∞C.3,4D.[3,+∞答案:A7.“a<4”是“对任意实数x,|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的 A.必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件解析∵|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x+3|=4,∴当a<4时⇒|2x-1|+|2x+3|≥a成立,即充分条件;当|2x-1|+|2x+3|≥a⇒a≤4,不能推出a<4,即必要条件不成立.答案B8.函数y=|x-3|-|x+1|的最大值是________,最小值是________.解析解法一 ∵||x-3|-|x+1||≤|x-3-x+1|=4,∴-4≤|x-3|-|x+1|≤
4.∴ymax=4,ymin=-
4.解法二 把函数看作分段函数y=|x-3|-|x+1|=∴-4≤y≤4,∴ymax=4,ymin=-
4.答案4 -49.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,|x-2y+1|的最大值是________.解析|x-2y+1|=|x-1-2y-2-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|≤1+2+2=
5.答案510.xx·江西高考文科x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为____________.解析由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-x-1|=1,同理|y|+|y-1|≥1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤
2.答案[0,2]11.xx·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学设函数fx=+|x-a|a>0,证明fx≥
2.解析1由a>0,有fx=+|x-a|≥=+a≥
2.所以fx≥
2.12.设a,b∈R且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值.解析|a+b|=|a+b+1-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2|a-b|=|3a+b+1-2a+2b+4+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=
16.
①当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2;
②当ab<0时,则a-b>0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+-b|≤
16.总之,恒有|a|+|b|≤
16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=
16.因此|a|+|b|的最大值为
16.13.已知实数x,y满足|x+y|,|2x-y|,求证|y|.证明∵3|y|=|3y|=|2x+y+y-2x|≤2|x+y|+|2x-y|,由题意设|x+y|,|2x-y|,∴3|y|2×+=.∴|y|.14.设Ax1,y1,Bx2,y2是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义点A到点B的一种折线距离为ρA,B=|x2-x1|+|y2-y1|,对于平面xOy上给定的不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2,若点Cx,y是平面xOy上的点,试证明ρA,C+ρC,B≥ρA,B.证明由绝对值不等式知,ρA,C+ρC,B=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y|≥|x-x1+x2-x|+|y-y1+y2-y|=|x2-x1|+|y2-y1|=ρA,B.当且仅当x-x1·x2-x≥0且y-y1·y2-y≥0时等号成立.1.在掌握本节知识过程中,要充分认识和理解绝对值的意义和性质设a∈R,则|a|=|a|≥0,-|a|≤a≤|a|,|a|2=a
2.2.绝对值不等式的性质定理的推广|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|;|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.3.在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件|a+b|=|a|+|b|ab≥0;|a-b|=|a|+|b|ab≤0;||a|-|b||=|a+b|ab≤0;||a|-|b||=|a-b|ab≥0.。