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2019-2020年高中数学
1.2极点坐标练习新人教A版选修4-4►预习梳理1.极坐标系的建立.在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定____________和______________________通常取逆时针方向为正方向,这样就建立了一个极坐标系其中O称为极点,射线Ox称为极轴.设M为平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的________,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的________,记为θ,有序实数对________叫作点M的极坐标,记作________,一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.2.直角坐标与极坐标的互化.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为x,y和ρ,θ,则或►预习思考1.写出下图中各点的极坐标A________,B________,C________.2.已知点M的极坐标为,则它化成直角坐标为________.预习梳理1.一个长度单位 一个角度单位及其正方向 极径 极角 ρ,θ Mρ,θ2.ρcosθ ρsinθ x2+y2 预习思考1.4,0
2.1.极坐标系中,和点表示同一点的是________.
1.2.极坐标系中,与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________.
2.3.在极坐标中,若等边△ABC的两个顶点是A、B,那么顶点C的坐标可能是________.
3.4.在极坐标系中,已知M1,M2,则|M1M2|=________.4.25.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,建立直角坐标系,则极坐标M表示的点在第________象限.5.解析由于x=ρcosθ=xxcos1007,y=ρsinθ=xxsin=-1007,故点1007,-1007在第四象限.答案四6.已知A、B两点极坐标为A,B,则线段AB中点的极坐标为________.
6.7.在极坐标系中,已知A,B,则△AOB的面积S=________.7.28.极坐标系中,点A的极坐标是规定ρ0,θ∈[0,2π,则1点A关于极轴对称的点的极坐标是________;2点A关于极点对称的点的极坐标是________;3点A关于直线θ=的对称点的极坐标是________________.8.1 2 39.已知圆C x+12+y-2=1,则圆心C的极坐标为__________ρ>0,0≤θ<2π.
9.10.将下列各点的直角坐标化为极坐标ρ0,0≤θ2π.1,3;2-1,-1;3-3,0.10.解析1ρ==2,tanθ==.又因为点在第一象限,所以θ=.所以点,3的极坐标为.2ρ==,tanθ=
1.又因为点在第三象限,所以θ=.所以点-1,-1的极坐标为.3ρ==3,画图,可知极角为π,所以点-3,0的极坐标为3,π11.在极坐标系中,点A和点B的极坐标分别为和3,0,O为极点,则三角形OAB的面积=________.
11.12.在极坐标系中,定点A,点B的一个极坐标为ρ0,当线段AB最短时,点B的极坐标为________________.
12.k∈Z13.以直角坐标系Oxy的坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρ,θ0≤θ2π,正六边形ABCDEF的顶点极径都是ρ=2,且A、B、C、D、E、F依逆时针次序排列.若点A的极坐标为,则点B的直角坐标为________.13.-1,14.在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标.14.解析设Mr,0,因为A,所以=5,即r2-8r+7=
0.解得r=1或r=
7.所以点M的坐标为1,0或7,0.答案1,0或7,01.极坐标系的四要素
①极点;
②极轴;
③长度单位;
④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置,应先确定极角,再确定极径,最终确定点的位置.3.极坐标与直角坐标的互化.我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x轴的正半轴重合,且两种坐标系取相同的长度单位,设Px,y是平面上的任意一点,如右图则有换算公式
①或
②在换算公式
①和
②中,一般θ∈[0,2π就可以了.【习题
1.2】1.解析由题图可知各点的坐标分别为A3,0,B,C,D,E
2.5,π,F,G4,.2.解析以广东省汕尾市为极点,正东方向的射线为极轴单位长度为1公里建立极坐标系,如右图所示,则该台风中心所在位置的极坐标为A.3.解析因为∠AOB=-=π,所以A,O,B三点共线.所以A,B两点间的距离为|AB|=3+1=
4.4.解析直角坐标与极坐标的互化公式为x=ρcosθ,y=ρsinθ,分别将极坐标,,,代入上述公式得各点的直角坐标分别为,,0,4,.5.解析直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2=x2+y2,tanθ=x≠0,分别将直角坐标,,,代入上述公式得各点的极坐标分别为,,,.。