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2019-2020年高中数学
1.
4.2导数应用
(二)学案新人教A版选修2-21.会解决生活中的优化问题.2.会利用导数解决某些实际问题.1.优化问题.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.2.利用导数求优化问题的步骤.1分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=fx;2求函数的导数f′x,解方程f′x=0;3比较函数在区间端点和使f′x=0的点的函数值的大小.最大小者为最大小值.想一想1求函数最值的常用方法有哪些?2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________.1解析可以利用函数的单调性;可以利用基本不等式;可以利用导数.2解析设圆锥的高为xcm,则底面半径为cm,其体积V=πx202-x20x20.V′=π400-3x2,令V′=0,解得x1=,x2=-舍去.当0x时,V′0;当x20时,V′0,所以当x=时,V取最大值.答案cm1.在抛物线y=x2上依次取两点,它们的横坐标分别为x1=1,x2=3,若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行,则点P的坐标为2,4.2.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成和.3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数xx∈N*的关系为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大C A.2B.4C.5D.61.圆的面积S关于半径r的函数是S=πr2,那么在r=3时面积的变化率是DA.6B.9C.9πD.6π解析因为S′=2πr,所以S′3=2π×3=6π.2.把长度为8的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为BA.2B.4C.8D.以上都不对3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度单位℃为fx=x3-x2+80≤x≤5,那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是CA.8B.C.-1D.-8解析原油温度的瞬时变化率为f′x=x2-2x=x-12-10≤x≤5,所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-
1.故选C.4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润单位万元分别为L1=
5.06x-
0.15x2和L2=2x,其中x为销售量单位辆,若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________.解析设甲地销售x辆,则乙地销售15-x辆.总利润L=
5.06x-
0.15x2+215-x=-
0.15x2+
3.06x+30x≥0.令L′=-
0.3x+
3.06=0,得x=
10.
2.∴当x=10时,L有最大值
45.
6.答案
45.6万元5.有一边长分别为8与5的长方形,各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,则小盒的最大容积是BA.20B.18C.16D.14解析正方形边长为x,则V=8-2x·5-2xx=22x3-13x2+20x.V′=43x2-13x+
10.V′=0得x=1,根据实际情况,小盒容积最大值是存在的,∴当x=1时,容积V取得最大值
18.6.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20,要使其体积最大,则高为DA.B.C.D.7.有长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地面积最大值为__________.解析设矩形长为xm,则宽为8-xm,矩形面积S=x8-x0<x<8,令S′=8-2x=0得x=
4.所以Smax=16m2.答案16m28.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为kk>0,贷款的利率为
4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为xx∈0,
4.8%,则使银行获得最大收益的存款利率为________.解析依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是
0.048kx2,所以银行的收益是y=
0.048kx2-kx30<x<
0.048,故y′=
0.096kx-3kx
2.令y′=0,解得x=
0.032或x=0舍去.当0<x<
0.032时,y′>0;当
0.032<x<
0.048时,y′<
0.因此,当x=
0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为
3.2%时,银行可获得最大收益.答案
3.2%9.如下图所示,用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形,其面积为100为使所用材料最省,矩形底宽应为多少?解析设圆的半径为r,矩形的宽为b铁丝长为l,则100=+2br,∴b=.∴l=πr+2r+2b=πr+2r+-.∴l′=π+2--.令l′=0,得π+2--=0,∴100=r
2.解得r=
10.则底宽为20时用料最省.10.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+5t百万元0≤t≤3.1若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?2现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x百万元,可增加的销售额约为-x3+x2+3x百万元.请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.收益=销售额-投入解析1设投入t百万元的广告费后增加的收益为ft,则有ft=-t2+5t-t=-t2+4t=-t-22+40≤t≤3,∴当t=2时,ft取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.2设用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为3-x百万元,又设由此获得的收益是gx百万元,则gx=+[-3-x2+53-x]-3=-x3+4x+30≤x≤3,∴g′x=-x2+4,令g′x=0,解得x=-2舍去或x=
2.又当0≤x2时,g′x0;当2x≤3时,g′x0,∴当x=2时,gx取得最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.。