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2019-2020年高中数学
2.
1.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1-1►基础梳理1.椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.
2.椭圆的离心率e.1因为ac0,所以0e1.2e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁.3当e=0时,即c=0,a=b时,两焦点重合,椭圆方程变成x2+y2=a2,成为一个圆.4当e=1时,即a=c,b=0时,椭圆压扁成一条线段.5离心率e刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关.3.直线与椭圆.设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0.1Δ>0,直线与椭圆有两个公共点;2Δ=0,直线与椭圆有一个公共点;3Δ<0,直线与椭圆无公共点.►自测自评1.椭圆+y2=1的长轴端点的坐标为DA.-1,0,1,0B.-6,0,6,0C.0,-,0,D.-,0,02.离心率为,焦点在x轴上,且过点2,0的椭圆标准方程为AA.+y2=1B.+y2=1或x2+=1C.x2+4y2=1D.+y2=1或+=13.椭圆+=1的离心率为.解析∵+=1中,a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=
8.∴e===.1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长,短轴长,离心率依次是BA.5,3,B.10,6,C.5,3,D.10,6,2.已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,且长轴长等于圆C x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是AA.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1解析圆x2+y2-2x-15=0的半径r=4⇒a=2,又因为e==,c=1,所以a2=4,b2=3,故选A.3.在一椭圆中以焦点F1,F2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率e等于________.解析由题可知b=c,∴a2=b2+c2=2c2,a=c.∴e==.答案4.设椭圆C+=1a>b>c过点0,4,离心率为.1求C得方程;2求过点3,0且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.解析1将0,4代入C的方程得=1,∴b=
4.又e==,得=,即1-=,∴a=5,∴C的方程为+=
1.2过点3,0且斜率为的直线方程为y=x-3.设直线与C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2,将直线方程y=x-3代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,解得x1=,x2=,∴AB的中点坐标x0==,y0==x1+x2-6=-,即中点坐标为.5.如图所示F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.解析设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1-c,0,F2c,0,M点的坐标为c,b,则△MF1F2为直角三角形.∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+b2=|MF1|
2.而|MF1|+|MF2|=+b=2a,整理得3c3=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a,所以=.∴e2===1-=,∴e=.1.椭圆+=1与+=10<k<9的关系为DA.有相等的长轴B.有相等的短轴C.有相同的焦点D.有相等的焦距2.xx·广东四校联考已知椭圆的方程为2x2+3y2=mm>0,则此椭圆的离心率为BA.B.C.D.3.若椭圆+=1的离心率为,则m的值为BA.B.或18C.18D.或64.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是DA.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.椭圆+=1和+=kk>0具有AA.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴解析将+=kk>0化为+=
1.则c2=a2-b2k,∴e2==.6.已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1a>b>0上一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则该椭圆的离心率等于DA.B.C.D.7.已知椭圆上一点P到两个焦点的距离的和为4,其中一个焦点的坐标为,0,则椭圆的离心率为________.答案8.椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于,则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________.答案+y2=1或+x2=
1.9.过椭圆+=1a>b>0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为________.解析若点P在第二象限,则由题意可得P,又∠F1PF2=60°,所以=tan60°=,化简得c2+2ac-a2=0,即e2+2e-=0,e∈0,1,解得e=,故填.答案10.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率e=,短轴长为8,求椭圆的方程.解析∵2b=8,∴b=
4.又=,由a2-c2=b2,得a2=144,b2=
80.∴+=1或+=
1.11.已知椭圆C+=1a>b>0的离心率e=,且椭圆经过点N2,-3.1求椭圆C的方程;2求椭圆以M-1,2为中点的弦所在直线的方程.解析1由椭圆经过点N2,-3,得+=1又e==,解得a2=16,b2=
12.∴椭圆C的方程为+=
1.2显然M在椭圆内,设Ax1,y1,Bx2,y2是以M为中点的弦的两个端点,则eq\fx16+eq\fy12=1,eq\fx16+eq\fy12=
1.相减得+=
0.整理得kAB=-=,则所求直线的方程为y-2=x+1,即3x-8y+19=012.xx·惠州调研已知椭圆的一个顶点为A0,-1,焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+2=0的距离为
3.1求椭圆的标准方程;2设直线y=kx+mk≠0与椭圆相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.解析1依题意可设椭圆方程为+y2=1,则右焦点F的坐标为,0,由题意得=3,解得a2=
3.故所求椭圆的标准的方程为+y2=
1.2设PxP,yp、MxM,yM、NxN,yN,其中P为弦MN的中点,由得3k2+1x2+6mkx+3m2-1=
0.∵Δ=6mk2-43k2+1×3m2-1>0,即m2<3k2+1
①,xM+xN=-,∴xP==-,从而yP=kxP+m=.∴kAP==-,又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,因而-=-,即2m=3k2+1
②,把
②式代入
①式得m2<2m,解得0<m<2,由
②式得k2=>0,解得m>,综上所述,求得m的取值范围为<m<
2. ►体验高考1.xx·全国大纲卷若椭圆C+=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2离心率为,过F2的直线l交C与A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为AA.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析∵△AF1B的周长为4,∴4a=4,∴a=,∵e==,∴c=1,b=,∴椭圆C的方程为+=
1.2.xx·江西卷设椭圆C+=1a>b>0的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于________.解析由题意,F1-c,0,F2c,0,其中c2=a2-b
2.不妨设点B在第一象限,由AB⊥x轴,∴B,A.由于AB//y轴,|F1O|=|OF2|,∴点D为线段BF1的中点,则D,由于AD⊥F1B,知·=0,则·=2c2-=0,即2ac=b2,∴2ac=a2-c2,又e=,且e∈0,1,∴e2+2e-=0,解得e=e=-舍去.答案3.xx·安徽卷设F1,F2分别是椭圆E+=1a>b>0的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|.1若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;2若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.解析1由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=
1.∵△ABF2的周长为
16.∴4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=
5.2设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k,由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,即4k2=2a-3k2+2a-k2-2a-3k·2a-k,化简可得a+k·a-3k=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,可得AF1⊥AF
2.∴△AF1F2为等腰直角三角形,∴c=a,e=.4.xx·新课标全国卷Ⅱ设F1,F2分别是椭圆C+=1a>b>0的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.1若直线MN的斜率为,求C的离心率;2若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析1根据c=及题设知M由kMN=,得=,则2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2舍去.故C的离心率为.2由题意,原点O为F1F2的中点,MF2//y轴,所以直线MF1与y轴的交点D0,2是线段MF1的中点,故=
4.于是b2=4a.
①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设Nx1,y1,由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=
1.
②将
①及c=代入
②得+=
1.解得a=7,b2=4a=28,即b=
2.∴a=7,b=
2.。