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文本内容:
2019-2020年高中数学
2.
2.2双曲线的参数方程练习新人教A版选修4-4►预习梳理1.已知动点M和定点A5,0,B-5,0.1若=8,则M的轨迹方程是__________________;2若|MA|-|MB|=8,则M的轨迹方程是____________________;3若|MB|-|MA|=8,则M的轨迹方程是____________________.2.双曲线-=1的参数方程为φ为参数.规定φ的范围为φ∈[0,2π,且φ≠,φ≠.这是中心在________,焦点在________上的双曲线参数方程.►预习思考 -=1的参数方程为________.预习梳理1.1-=1 2-=1x<03-=1x>02.原点 x轴预习思考θ为参数1.双曲线α为参数的两焦点坐标是 A.0,-4,0,4B.-4,0,4,0C.0,-,0,D.-,0,,01.A2.参数方程α为参数的普通方程为 A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1|x|≤D.x2-y2=1|x|≤
2.C3.与方程xy=1等价的曲线的参数方程t为参数是 A. B.C.D.
3.D4.双曲线的顶点坐标为________.4.-,
0、,05.圆锥曲线θ为参数的焦点坐标是________.5.-4,06,06.参数方程t为参数表示的曲线是 A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆6.C7.双曲线φ为参数的渐近线方程为________.7.y=±x-28.已知双曲线方程为x2-y2=1,M为双曲线上任意一点,点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2,求证d1与d2的乘积是常数.8.证明设d1为点M到渐近线y=x的距离,d2为点M到渐近线y=-x的距离,因为点M在双曲线x2-y2=1,则可设点M坐标为secα,tanα.d1=,d2=,d1·d2==,故d1与d2的乘积是常数.9.将参数方程t为参数,a>0,b>0化为普通方程.9.解析∵t+=,t-=,又=t2++2=,=t2+-2=,∴-=4=-,即-=
1.∴普通方程为-=1a>0,b>0.10.设方程1当t=1时,θ为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程;2当θ=时,t为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程.10.解析1当t=1时,θ为参数,原方程为消去参数θ.∴-y-22=1,即+y-22=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.2当θ=时,t为参数,原方程化为消去参数t,得y=2x+1-4,这是一条直线.11.已知曲线C的方程为当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?当θ为不等于k∈Z的常数,t为参数时,C是什么曲线?两曲线有何共同特征?11.分析研究曲线的参数方程要首先明确哪个量是参变量.解析当θ为参数时,将原参数方程记为
①,将参数方程
①化为平方相加消去θ,得+=
1.
②∵et+e-t2>et-e-t2>0,∴方程
②表示的曲线为椭圆.当t为参数时,将方程
①化为平方相减,消去t,得-=
1.
③∴方程
③表示的曲线为双曲线,即C为双曲线.又在方程
②中-=1,则c=1,椭圆
②的焦点为-1,0,1,0.因此椭圆和双曲线有共同的焦点.12.如右图所示,设M为双曲线-=1a0,b0上任意一点,过点M作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于A,B两点,试求平行四边形MAOB的面积.12.解析双曲线的渐近线方程为y=±x.不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为asecφ,btanφ,则直线MA的方程为y-btanφ=-x-asecφ,将y=x代入解得点A的横坐标为xA=secφ-tanφ,同理可得点B的横坐标为xB=secφ-tanφ.设∠AOx=α,则tanα=,所以平行四边形MAOB的面积为S▱MAOB=|OA|·|OB|·sin2α-··sin2α=·sin2α=·tanα=·=.1.判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法.如果x对应的参数形式是secφ,则焦点在x轴上.如果y对应的参数形式是secφ,则焦点在y轴上.2.双曲线标准方程与参数方程的互化可由三角变换公式sec2φ-tan2φ=1得到.由-=1得-=1,令=secφ,由三角公式sec2φ-tan2φ=1,得=-1=sec2φ-1=tan2φ,取=tanφ,得双曲线的参数方程为φ为参数.3.对于双曲线而言,它的参数方程主要应用价值在于1通过参数角简明地表示曲线上任一点的坐标;2将解析几何中的计算问题转化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题.。