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2019-2020年高中数学
2.
2.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修1-1►基础梳理1.双曲线的几何性质.
2.双曲线的有关几何元素.求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时,要先将方程化成双曲线的标准形式,然后求a、b,即可得到所求.3.双曲线的渐近线方程.双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,一般情况下,先求a、b,再写方程.两者容易混淆,可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程,这样就不至于记错了.1若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程.双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决.方法一 分两种情况设出方程进行讨论;方法二 依据渐近线方程,设出双曲线为m2x2-n2y2=λλ≠0,求出λ即可.2与-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λλ≠0.►自测自评1.双曲线-y2=1的离心率是CA. B.2C. D.解析∵a=2,b=1,c==,∴e=.2.双曲线-=1的渐近线方程是y=±x.解析a2=4,b2=9,焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x=±x.3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是-=1或-=1.1.xx·茂名一模已知双曲线-=1m0的右焦点F3,0,则此双曲线的离心率为CA.6B.C.D.2.双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为0,2,则双曲线C的方程为BA.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.以椭圆+=1的焦点为焦点,离心率为2的双曲线方程为________.答案-=14.求与双曲线-=1共渐近线且过点A2,-3的双曲线方程.解析设所求双曲线方程为-=λλ≠0.将点2,-3代入,得λ=-,∴双曲线方程为-=
1.5.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,求双曲线的离心率.分析只知渐近线方程,并不知焦点在哪个轴上,因此应分情况解答.解析设具有渐近线y=±x的双曲线方程为-=λλ≠0,即-=
1.λ>0,焦点在x轴上,a2=16λ,b2=9λ,c2=a2+b2=25λ,∴e2==,e=.λ<0,焦点在y轴上,a2=9λ,b2=16λ,c2=a2+b2=25λ,∴e2==,e=.1.双曲线-=1a0,b0的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为CA.2B.C.D.2.xx·茂名二模设双曲线-=1a0,b0的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为BA.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x3.已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线方程为x+2y=0,则双曲线的离心率e的值为AA.B.C.D.24.设F1和F2为双曲线-=1a0,b0的两个焦点,若F1,F2,P0,2b是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为BA.B.2C.D.3解析由tan==有3c2=4b2=4c2-a2,则e==2,故选B.5.已知双曲线-=1b0的左、右焦点分别为F
1、F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P,y0在该双曲线上,则·=CA.-12B.-2C.0D.4解析由已知得,b2=2,c=2,点P为,±1,左、右焦点坐标分别为-2,0,2,0,结合向量的乘法,易知选C.6.已知双曲线-=1a0,b0的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线的离心率e为DA.2B.3C.D.解析依题意,得2×2b=2a+2c,即2b=a+c,两边平方得4b2=a2+2ac+c2,将b2=c2-a2代入化简得,3c2-2ac-5a2=
0.即3e2-2e-5=0,解得e=.7.双曲线的渐近线方程为2x±y=0,两顶点间的距离为4,则双曲线的方程为________________________________________________________________________.解析由题意知a=2,当焦点在x轴上时,有=2∴b=4,双曲线方程为-=1;当焦点在y轴上时,有=2∵b=1,双曲线方程为-x2=
1.答案-=1或-x2=18.若双曲线+=1的离心率为2,则k的值为________.解析∵+=1是双曲线,∴k+40,k-
4.∴a2=9,b2=-k+4.∴c2=a2+b2=5-k.∴==
2.∵5-k=36,k=-
31.答案-31 9.过点P-3,0的直线l与双曲线-=1交于点A,B,设直线l的斜率为k1k1≠0,弦AB的中点为M,OM的斜率为k2O为坐标原点,则k1·k2=________.解析设A、B的坐标分别为x1,y1,x2,y2,∴eq\fx16-eq\fy9=1,eq\fx16-eq\fy9=
1.两式相减得-=0,即k1==.∵M,∴k2=,∴k1·k2=.答案10.F
1、F2为双曲线-y2=-1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是________.解析双曲线-y2=-1的两个焦点是F10,-、F20,,∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|
2.即|PF1|2+|PF2|2=
20.
①∵|PF1|-|PF2|=±2,∴|PF1|2-2|PF2|·|PF1|+|PF2|2=
4.
②①-
②得2|PF1|·|PF2|=16,∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=
4.答案411.求适合下列条件的双曲线标准方程.1虚轴长为12,离心率为;2顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x.解析1设双曲线的标准方程为-=1,或-=1a0,b0.由题知2b=12,=,且c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8,∴标准方程为-=1,或-=
1.2当焦点在x轴上时,由=,且a=3,∴b=.∴所求双曲线方程为-=
1.当焦点在y轴上时,由=,且a=3,b=
2.∴所求双曲线方程为-=
1.12.设双曲线C-y2=1a0与直线l x+y=1相交于两个不同的点A、B.1求双曲线离心率e的取值范围;2设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.解析1∵曲线C与l相交于两个不同的点A、B,∴方程组有两个不同的实数解,∴1-a2x2+2a2x-2a2=0
①∴解得0a且a≠
1.∴e2==1+1+=,∴e且e≠.2由题意知P0,1,设Ax1,y
1、Bx2,y2,由=,得x1,y1-1=x2,y2-1,∴x1=x2,由
①可知,以上两式相联消去x
1、x2可得-=,由a0,知a=. ►体验高考1.xx·天津卷已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线平行于直线l y=2x+10,双曲线的一个交点在直线l上,则双曲线的方程为AA.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析双曲线的渐近线方程为y=±x,因为一条渐近线与直线y=2x+10平行,所以=
2.又因为双曲线的一个焦点在直线y=2x+10上,所以-2c+10=0,所以c=
5.由得故双曲线的方程为-=
1.2.xx·重庆卷设F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|-|PF2|2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为DA.B.C.4D.解析根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a,所以4a2=b2-3ab,所以b=4a,双曲线的离心率e===,选择D.3.xx·全国大纲卷双曲线C-=1a0,b0的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于CA.2B.2C.4D.4解析∵e==2,∴c=2a.∵双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,∵焦点Fc,0到渐近线bx-ay=0的距离为.∴=,∴=,∴b=.∵c=2a,∴c2-a2=b2,∴4a2-a2=3,a=1,c=
2.4.xx·四川卷双曲线-y2=1的离心率等于________.解析因为双曲线的方程为-y2=1,所以a=2,b=1,所以c=,所以双曲线的离心率e==.答案5.xx·北京卷设双曲线C经过点2,2,且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________,渐近线方程为________.解析设C-x2=λλ≠0过2,2,则-22=λ1-4=λ,λ=-3∴C-x2=-3即-=1易得渐近线±=0即y=±2x.6.xx·新课标全国卷Ⅰ已知双曲线-=1a0的离心率为2,则a=DA.2B.C.D.1解析由题意得e==2,∴=2a,∴a2+3=4a2,∴a2=1,∴a=
1.。