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文本内容:
2019-2020年高中数学
2.
3.1平面向量基本定理练习(含解析)苏教版必修4情景“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度.在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.思考平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢?1.如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使________.这个定理叫________________.答案a=λ1e1+λ2e2 平面向量基本定理2.不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.答案基底3.基底的特征是________、________.答案两个向量 不共线平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e
2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.重点诠释对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面1基底不唯一,关键是两基底不共线;2由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解;3基底给定时,分解形式唯一;4以共线向量为基础,通过把一个向量在其他两个向量上分解,就可以揭示出该定理的本质,由此定理可以得到一个常用结论若e1,e2不共线,则λ1e1+λ2e2=0⇔λ1=λ2=
0. 1.e1,e2是平面内的一组基底,则下面四组向量中,不能作为一组基底的是 A.e1和e1+e2 B.e1-2e2和e2-2e1C.e1-2e2和4e2-2e1D.e1+e2和e1-e2答案C2.下面三种说法
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量.其中正确的说法是________填序号.答案
②③3.已知向量a,b不共线,且c=λ1a+λ2bλ1,λ2∈R,若c与b共线,则λ1=________.答案04.若3x+4y=a且2x-3y=b,其中a,b为已知向量,则x+y=________用a,b表示.答案a+b5.向量,,的终点A、B、C在一条直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则以下等式成立的是 A.r=-p+q B.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2q解析由=-3,得-=-3-,2=-+3,=-+,即r=-p+q.答案A6.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么=________.解析由D为BC边中点可得=+,又2++=0,所以2+2=
0.故=,从而=.答案7.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=2,=+λ,则λ=________.解析=+=+=+-=+,故λ=.答案8.已知△ABC和点M满足++=
0.若存在实数m使得+=m成立,则m=________.解析依题意可知M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于点D,则=.
①因为AD为中线,所以+=2=m,即2=m.
②联立
①②解得m=
3.答案39.用向量证明三角形的三条边的中线共点.证明设AD、BE、CF是△ABC的三条中线.设=a,=b,=,则=a-b,=a-b,=-a+b.设AD与BE交于点G1,并设=λ,=μ,则=λa-b,=-a+μb.又因为=+=a+μ-1b.所以解得λ=μ=,即=.再设AD与CF交于点G2,同理可得=,故点G1与点G2重合,即AD、BE、CF相交于一点.所以三角形的三条边的中线共点.10.如右下图,在△ABC中,M是边AB的中点,E是CM的中点,AE的延长线交BC于点F,MH∥AF.求证==.证明设=a,=b.则=2b,=a-b,=2=2a-2b,=+=2a-2b+2b=2a.所以=-=a.因此=.同理可证=.因此结论成立.11.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为60°,与,与的夹角都为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ,求λ+μ的值.解析过点C分别作CN∥OA,交射线OB于点N,作CM∥OB,交射线OA于点M,则=+=λ+μ.所以=λ,=μ.由已知,||=||=1,在平行四边形OMCN中,∠MOC=∠NOC=∠NCO=30°,所以△NOC为等腰三角形.所以ON=NC=OM.所以平行四边形OMCN为菱形.连接MN交OC于点H,则OC⊥MN,且H为OC中点.在Rt△OHM中,cos∠HOM==,即cos30°==,解得OM=2,所以ON=
2.所以λ==2,μ==
2.故λ+μ=
4.12.在一个平面内有不共线的三个定点O、A、B,动点P关于点A的对称点为Q,Q关于点B的对称点为R.已知=a,=b,用a、b表示.解析如右图所示.方法一 由题意知A为PQ的中点,B为QR的中点,∴PR∥AB且PR=2AB.∴=2·=2-=2b-a.方法二 =-,在△OQR中,B为QR的中点,∴2=+.∴=2-.同理有2=+,∴=2-.则=2--2-=2b--2a+=2b-2a.。