2019-2020年高中数学2.3.2抛物线的简单几何学案新人教A版选修1-1

2019-2020年高中数学

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3.2抛物线的简单几何学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．抛物线的几何性质．四种标准形式的抛物线几何性质的比较抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如已知过抛物线y2＝2pxp＞0的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设Ax1，y1，Bx2，y2，则有下列性质|AB|＝x1＋x2＋p，y1y2＝－p2，x1x2＝等．2．直线与抛物线的位置关系．直线方程与抛物线方程联立后得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝

0.当a≠0时，两者位置关系的判定与椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a＝0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线与抛物线相交，但只有一个公共点．3．弦长问题．设Ax1，y

1、Bx2，y2是抛物线y2＝2pxp＞0上的任两点，直线AB的斜率为k，倾斜角为α，则弦长|AB|＝＝.►自测自评1．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点－2，3，则它的方程是BA．x2＝－y或y2＝xB．y2＝－x或x2＝yC．x2＝yD．y2＝－x2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为y2＝16x．解析由双曲线－＝1得抛物线的焦点4，0，∴＝4，p＝8，故所求抛物线方程为y2＝16x.3．抛物线y2＝2pxp＞0上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是8．1．顶点在原点，焦点在坐标轴的抛物线过点3，2，则它的方程是AA．x2＝y或y2＝xB．y2＝x或x2＝yC．x2＝yD．y2＝－x2．过点M2，4作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有CA．0条B．1条C．2条D．3条解析∵点M2，4在抛物线上，过点M与抛物线相切的有一条，与x轴平行的有一条．共2条．3．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是________．解析抛物线y2＝2x的焦点为F，点A在抛物线外部，显然P、A、F三点共线时，|PA|＋|PM|有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－＝|FA|－＝.答案4．直线l y＝kx＋1，抛物线C y2＝2x，当k为何值时，l与C有一个公共点．解析由得k2x2＋2k－2x＋1＝0，当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，∴x＝，y＝

1.直线l与C只有一个公共点；当k≠0时，Δ＝2k－22－4k2＝－8k＋

4.当Δ＝0时，即k＝时，l与C有一个公共点；综上，当k＝0，或k＝时，l与C有一个公共点．5．求抛物线y＝x2上的点到直线l x－y－2＝0的最短距离．解析设抛物线上一点Px0，y0到直线l x－y－2＝0的距离为d，则d＝y0＝x＝eq\f|x0－x－2|\r2＝.∴当x0＝时，dmin＝.1．过点M3，2作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有BA．0条B．1条C．2条D．3条解析因为点3，2在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点．2．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|为BA．4B．8C．6D．10解析由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝

8.3．已知点M－4，1，F为抛物线C y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P的坐标是CA．0，0B．－1，2C.D．－2，2解析如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.∴当|PF|＋|PM|取最小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为.4．过抛物线y2＝2pxp＞0的焦点F作直线，交抛物线于Px1，y1，Qx2，y2两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于AA．4pB．5pC．6pD．8p解析|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝4p.5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M2，y0．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝BA．2B．2C．4D．2解析利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y2＝2pxp＞0，则M到焦点的距离为2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2，∴y0＝±2，∴|OM|＝eq\r4＋y＝＝

2.6．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A，B两点，其中A的坐标为1，2，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于AA．7B．3C．6D．5解析将A1，2分别代入抛物线与直线方程可得p＝2，a＝2，∴，可得x2－5x＋4＝0，∴x2＝1，x2＝

4.|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝

7.7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点0，2的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点，0，2点和抛物线的焦点P三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝＝.答案8．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．解析根据题意，可设A点的坐标为x0，2，代入抛物线方程，得x0＝3，又抛物线的焦点坐标为1，0，所以焦点到AB的距离为

2.答案29．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则|AB|＝________．解析由得k2x2－4k＋8x＋4＝0，所以x1＋x2＝＝4，x1·x2＝，得k＝－1或k＝

2.当k＝－1时，x2－4x＋4＝0有两个相等的实数根，不合题意；当k＝2时，|AB|＝＝＝＝

2.10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2m，测得水面宽度为8m．当水面上升1m后，水面宽度为________________________________________________________________________．解析以拱桥顶为原点，拱高所在的直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2pyp＞0，将点4，－2代入，得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.设水面宽度为2xm，将点x，－1代入抛物线方程，得x＝2，2x＝

4.水面宽度为4m.答案4m11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2pxp＞0上，求这个正三角形的边长．解析依题意，设正三角形OAB的一个顶点Ax0，y0x0＞0，y0＞0，则根据抛物线的对称性知Bx0，－y0，设AB交x轴于D点，则在直角三角形ADO中，∠AOD＝30°，|AD|＝y0，所以有x0＝|OD|＝y

0.将Ay0，y0代入抛物线方程有y＝2p·y0，即y0＝2p·，所以|AB|＝2y0＝4p.12．一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线的方程．解析设抛物线方程为y2＝2pxp≠0，将直线方程y＝2x－4代入，并整理得2x2－8＋px＋8＝

0.设方程的两个根为x1，x2，则根据韦达定理有x1＋x2＝，x1x2＝

4.由弦长公式，得32＝1＋22[x1＋x22－4x1x2]，即9＝－

16.整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2，或p＝－18，此时Δ＞

0.故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.►体验高考1．xx·新课标全国卷Ⅱ设F为抛物线C y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝CA.B．6C．12D．7解析∵F为抛物线C y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立得x2－x＋＝

0.∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝

12.2．xx·新课标全国卷Ⅰ已知抛物线C y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝BA.B．3C.D．2解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝

4.过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，∴|HQ|＝

3.∴|QF|＝

3.3．xx·江西卷如图所示，已知点A2，0，抛物线C x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交与点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝CA．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3解析直线MF的方程为＋＝1，即x＋2y－2＝

0.设直线MF的倾斜角为α，则tanα＝－.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以＝＝sinα＝.故选C.4．xx·新课标全国卷Ⅱ设抛物线C y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为CA．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝x－1或y＝－x－1C．y＝x－1或y＝－x－1D．y＝x－1或y＝－x－1解析如下图，设直线AB与抛物线的准线x＝－1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|＝|BB1|＝t，|AF|＝|AA1|＝3t.由三角形的相似得＝＝，∴|BC|＝2t，∠B1CB＝，∴直线的倾斜角α＝或π.。