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2019-2020年高中数学
2.
3.2抛物线的简单几何学案新人教A版选修1-1►基础梳理1.抛物线的几何性质.四种标准形式的抛物线几何性质的比较抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心率等于1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点的直线交抛物线于A、B两点,设Ax1,y1,Bx2,y2,则有下列性质|AB|=x1+x2+p,y1y2=-p2,x1x2=等.2.直线与抛物线的位置关系.直线方程与抛物线方程联立后得到一元二次方程ax2+bx+c=
0.当a≠0时,两者位置关系的判定与椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线与抛物线相交,但只有一个公共点.3.弦长问题.设Ax1,y
1、Bx2,y2是抛物线y2=2pxp>0上的任两点,直线AB的斜率为k,倾斜角为α,则弦长|AB|==.►自测自评1.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点-2,3,则它的方程是BA.x2=-y或y2=xB.y2=-x或x2=yC.x2=yD.y2=-x2.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为y2=16x.解析由双曲线-=1得抛物线的焦点4,0,∴=4,p=8,故所求抛物线方程为y2=16x.3.抛物线y2=2pxp>0上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是8.1.顶点在原点,焦点在坐标轴的抛物线过点3,2,则它的方程是AA.x2=y或y2=xB.y2=x或x2=yC.x2=yD.y2=-x2.过点M2,4作直线l,与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有CA.0条B.1条C.2条D.3条解析∵点M2,4在抛物线上,过点M与抛物线相切的有一条,与x轴平行的有一条.共2条.3.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是________.解析抛物线y2=2x的焦点为F,点A在抛物线外部,显然P、A、F三点共线时,|PA|+|PM|有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-=|FA|-=.答案4.直线l y=kx+1,抛物线C y2=2x,当k为何值时,l与C有一个公共点.解析由得k2x2+2k-2x+1=0,当k=0时,方程为-2x+1=0,∴x=,y=
1.直线l与C只有一个公共点;当k≠0时,Δ=2k-22-4k2=-8k+
4.当Δ=0时,即k=时,l与C有一个公共点;综上,当k=0,或k=时,l与C有一个公共点.5.求抛物线y=x2上的点到直线l x-y-2=0的最短距离.解析设抛物线上一点Px0,y0到直线l x-y-2=0的距离为d,则d=y0=x=eq\f|x0-x-2|\r2=.∴当x0=时,dmin=.1.过点M3,2作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点,这样的直线共有BA.0条B.1条C.2条D.3条解析因为点3,2在抛物线内部,所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点.2.直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为3,则|AB|为BA.4B.8C.6D.10解析由题可知,抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F,AB中点到准线的距离为3+1=4,∴|AB|=|AF|+|BF|=2×4=
8.3.已知点M-4,1,F为抛物线C y2=-4x的焦点,点P在抛物线上,若|PF|+|PM|取最小值,则点P的坐标是CA.0,0B.-1,2C.D.-2,2解析如图所示,l为抛物线的准线,过P作PP′⊥l于P′,过M作MN⊥l于N,∴|PF|+|PM|=|PP′|+|PM|≥|MN|.∴当|PF|+|PM|取最小值时,P的纵坐标为1,代入抛物线方程可得P的坐标为.4.过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线,交抛物线于Px1,y1,Qx2,y2两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于AA.4pB.5pC.6pD.8p解析|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=4p.5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M2,y0.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=BA.2B.2C.4D.2解析利用抛物线的定义求解.由题意设抛物线方程为y2=2pxp>0,则M到焦点的距离为2+=3,∴p=2,∴y2=4x.∴y=4×2,∴y0=±2,∴|OM|=eq\r4+y==
2.6.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于A,B两点,其中A的坐标为1,2,设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于AA.7B.3C.6D.5解析将A1,2分别代入抛物线与直线方程可得p=2,a=2,∴,可得x2-5x+4=0,∴x2=1,x2=
4.|FA|+|FB|=x1++x2+=
7.7.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点0,2的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知,P点,0,2点和抛物线的焦点P三点共线时距离之和最小.所以最小距离d==.答案8.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为________.解析根据题意,可设A点的坐标为x0,2,代入抛物线方程,得x0=3,又抛物线的焦点坐标为1,0,所以焦点到AB的距离为
2.答案29.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB的中点的横坐标是2,则|AB|=________.解析由得k2x2-4k+8x+4=0,所以x1+x2==4,x1·x2=,得k=-1或k=
2.当k=-1时,x2-4x+4=0有两个相等的实数根,不合题意;当k=2时,|AB|====
2.10.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2m,测得水面宽度为8m.当水面上升1m后,水面宽度为________________________________________________________________________.解析以拱桥顶为原点,拱高所在的直线为y轴,建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2pyp>0,将点4,-2代入,得p=4,所以抛物线方程为x2=-8y.设水面宽度为2xm,将点x,-1代入抛物线方程,得x=2,2x=
4.水面宽度为4m.答案4m11.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2pxp>0上,求这个正三角形的边长.解析依题意,设正三角形OAB的一个顶点Ax0,y0x0>0,y0>0,则根据抛物线的对称性知Bx0,-y0,设AB交x轴于D点,则在直角三角形ADO中,∠AOD=30°,|AD|=y0,所以有x0=|OD|=y
0.将Ay0,y0代入抛物线方程有y=2p·y0,即y0=2p·,所以|AB|=2y0=4p.12.一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3,求抛物线的方程.解析设抛物线方程为y2=2pxp≠0,将直线方程y=2x-4代入,并整理得2x2-8+px+8=
0.设方程的两个根为x1,x2,则根据韦达定理有x1+x2=,x1x2=
4.由弦长公式,得32=1+22[x1+x22-4x1x2],即9=-
16.整理得p2+16p-36=0,解得p=2,或p=-18,此时Δ>
0.故所求的抛物线方程为y2=4x,或y2=-36x.►体验高考1.xx·新课标全国卷Ⅱ设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=CA.B.6C.12D.7解析∵F为抛物线C y2=3x的焦点,∴F,∴AB的方程为y-0=tan30°,即y=x-.联立得x2-x+=
0.∴x1+x2=-=,即xA+xB=.由于|AB|=xA+xB+p,所以|AB|=+=
12.2.xx·新课标全国卷Ⅰ已知抛物线C y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=BA.B.3C.D.2解析如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=
4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,∴|HQ|=
3.∴|QF|=
3.3.xx·江西卷如图所示,已知点A2,0,抛物线C x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交与点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=CA.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3解析直线MF的方程为+=1,即x+2y-2=
0.设直线MF的倾斜角为α,则tanα=-.由抛物线的定义得|MF|=|MQ|.所以==sinα=.故选C.4.xx·新课标全国卷Ⅱ设抛物线C y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为CA.y=x-1或y=-x+1B.y=x-1或y=-x-1C.y=x-1或y=-x-1D.y=x-1或y=-x-1解析如下图,设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得==,∴|BC|=2t,∠B1CB=,∴直线的倾斜角α=或π.。