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2019-2020年高中数学
2.
3.2空间两点间的距离学案苏教版必修2如下图所示,一只小蚂蚁站在水泥构件点O处,在A,B,C,D,E处放有食物,建立适当的空间直角坐标系,可以告诉小蚂蚁食物的准确位置.你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗?1.若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是x,y,z,则P到坐标原点O的距离OP=.2.在空间直角坐标系Oxyz中,设点P1x1,y1,z
1、P2x2,y2,z2是空间中任意两点,则P1与P2之间的距离P1P2=.3.在空间直角坐标系Oxyz中,点Px0,y0,z0到平面xOy的距离为|z0|,到x轴的距离为.空间两点间的距离公式1已知空间中两点A、B的坐标为Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则这两点间的距离为AB=.特别地点Ax,y,z到原点的距离为OA=.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式.2空间两点间的距离公式的推导思路.思路一当两点连线与坐标平面不平行时,过两点分别作三个坐标平面的平行平面,转化为求长方体的对角线长,从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可,而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得.思路二作线段在三个坐标平面上的正投影,把空间问题转化为平面问题加以解决.3坐标法求解立体几何问题时的三个步骤a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系;b.依题意确定各相应点的坐标;c.通过坐标运算得到答案.知识点一 空间中两点间的距离公式1.点P到原点的距离是________.解析由两点间距离公式可得.答案12.在x轴上与点A-4,1,7和点B3,5,-2等距离的点的坐标为________.解析设x轴上的点的坐标为x,0,0,则由距离公式得x+42+|-1|2+-72=x-32+-52+
22.解得x=-
2.答案-2,0,03.已知点P在z轴上,且满足PO=1O是坐标原点,则点P到A1,1,1的距离是________.解析设P0,0,c,∵PO=1,∴c=±
1.当c=1时,PA=;当c=-1时,PA=.答案或知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用4.点B是点A1,2,3在坐标平面yOz内的射影,则OB等于________.解析∵A1,2,3在平面yOz内的射影为B0,2,3,∴OB=.答案5.设A3,3,
1、B1,0,
5、C0,1,0,AB的中点M,则CM=________.解析由中点公式得M,∴CM==.答案6.已知空间三点A0,0,
3、B4,0,
0、C4,5,0,求△ABC的周长.解析∵AB==5,BC==5,AC==5,∴△ABC的周长为10+
5.综合点一 空间中有关距离的计算问题7.在空间直角坐标系中,点A-3,4,0与点Bx,-1,6的距离为,则x等于________.解析由=,∴x=2或-
8.答案2或-88.已知点A-3,1,4关于原点的对称点为B,则线段AB的长为________.解析AB=2OA=2=
2.答案2综合点二 两点间距离公式的综合应用9.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是________.解析设点Pa,b,c,则它在三个坐标轴上的射影为P1a,0,
0、P20,b,
0、P30,0,c,由已知得b2+c2=1,c2+a2=1,a2+b2=
1.∴2a2+b2+c2=
3.故PO===.答案10.已知A1-t,1-t,t、B2,t,t,则AB的最小值为________.解析∵AB====,∴当t=时,ABmin=.答案11.在空间直角坐标系中,已知A0,0,
3、B2,0,
0、C0,2,0,则△ABC的面积是多少?解析AB==,BC==2,AC==,∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.则BC边上的高h==,∴S△ABC=BC·h=×2×=.综合点三 应用距离解决角度问题12.如图,已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中,Bm,m,
0、C0,2m,
0、P0,0,2n.1画出这个空间直角坐标系,并指出AB与Ox轴的正方向的夹角;2若M为BC的中点,n=m,求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角.解析1如图,以A为坐标原点O,以AC为Oy轴,以AP为Oz轴,建立空间直角坐标系,此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.2连接AM、PM,∵AB=AC=2m,PB=PC=2,又M为BC中点,∴AM⊥BC,PM⊥BC.∴∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角.又n=m,∴PA=AM=m.∴AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.。