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2019-2020年高中数学
2.
4.1抛物线及其标准方程练习新人教A版选修2-11.抛物线的定义.平面内与一个定点F和一条定直线ll不经过点F距离______的点的轨迹叫做抛物线.________叫做抛物线的焦点,________叫做抛物线的准线.想一想在抛物线定义中,若去掉条件“l不经点F”,点的轨迹还是抛物线吗?2.抛物线方程的几种形式.图 形标准方程焦点坐标准线方程y2=2pxp>0x=-y2=-2pxp>0x=x2=2pyp>0y=-x2=-2pyp>0y=基础梳理1.相等 定点F 定直线l想一想解析不一定是抛物线,当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F,且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.2.想一想解析y2=2pxp0与y=ax2a0对应的图形都是抛物线形,但开口方向和对称轴都不一样,y2=2pxp0焦点,对称轴为x轴;y=ax2a0,即x2=y,焦点,对称轴为y轴.1.已知曲线C y2=2px上一点P的横坐标为4,P到焦点的距离为5,则曲线C的焦点到准线的距离为 A. B.1 C.2 D.42.抛物线x2=y上的点M到原点的距离为,则M到焦点的距离为 A.B.C.D.3.焦点坐标为0,2的抛物线的标准方程为________________________________________________________________________.自测自评1.C2.解析易得M,2,所以所求距离为2+=.答案B3.解析因为焦点坐标为0,2,故标准方程可设为x2=2pyp>0,其中=2,所以p=
4.故标准方程为x2=8y.答案x2=8y 1.xx·吉林高二检测对抛物线x2=4y,下列描述正确的是 A.开口向上,焦点为0,1B.开口向上,焦点为0,C.开口向右,焦点为1,0D.开口向右,焦点为,01.解析抛物线x2=4y开口向上,焦点为0,1,因此选A.答案A2.抛物线y2=2pxp0上一点M到焦点的距离是aa,则点M的横坐标是 A.a+ B.a-C.a+pD.a-p2.解析设Mx0,y0,由点M到焦点的距离为a,可得点M到准线x=-的距离也为a,即x0+=a,所以x0=a-.答案B3.xx·肇庆高二检测已知M是抛物线y2=2pxp0上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为 A.1B.1或4C.1或5D.4或53.解析因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为x,4或x,-4,又因为M到准线的距离为5,所以解得或答案B4.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是__________.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点2,0与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x负半轴.答案y2=8xx>0或y=0x<05.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 A. B. C.1 D.5.解析抛物线y2=4x的焦点是1,0,双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d=,故选B.答案B6.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0ab0的曲线大致是 6.解析a2x2+b2y2=1,可化为+=1,因为ab0,所以,其表示焦点在y轴上的椭圆;而ax+by2=0可化为y2=-x,其表示开口向左的抛物线,故应选D.答案D7.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的标准方程为____________________.7.解析抛物线y2=4x的焦点是1,0.所以所求圆的圆心为1,0,半径为1,所以圆的标准方程为x-12+y2=
1.答案x-12+y2=18.类似于抛物线的拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m后,则水面宽是________m.8.解析如右图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=mym≠0,将A2,-2代入方程得m=-2,∴x2=-2y,将yB=-3代入得xB=,∴水面宽是2xB=
2.答案29.如图所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E x2=2pyp0上.求抛物线E的方程.9.解析依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.设Bx,y,则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=
12.因为点B4,12在x2=2py上,所以42=2p×12,解得p=
2.故抛物线E的方程为x2=4y.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米精确到1m10.解析如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2pyp0.依题意有P′1,-1在此抛物线上,代入抛物线方程,得p=.故得抛物线方程为x2=-y.因为B在抛物线上,将Bx,-2代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1,因此所求水池的直径为21+m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.。