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2019-2020年高中数学
2.
4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修41.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.2.掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式.
一、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=,b=,a·b=x1x2+y1y2坐标形式.这就是说,文字语言两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.练习1a=2,3,b=-2,4,则a+b·a-b=-7.1.平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的?解析数量积的坐标表示的基础是向量的坐标表示和数量积的运算律.设i,j分别是和x轴、y轴同向的单位向量,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,设a=x1,y1,b=x2,y2,则a·b=x1i+y1j·x2i+y2j=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y
2.数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化,为用向量来处理几何问题,特别是解析几何问题提供了便利条件.
二、平面向量的模、夹角的坐标表示1.平面内两点间的距离公式.1设a=x,y,则=_x2+y2或=.2如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A,B,则=平面内两点间的距离公式.2.向量垂直的判定.设a=,b=,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.3.两向量夹角的余弦0≤θ≤π.cosθ==eq\fx1x2+y1y2\rx+y\rx+y.练习2已知a=1,,b=+1,-1,则a与b的夹角是.2.怎样求向量的投影?试求向量a=1,2在向量b=2,-2方向上的投影.分析本题考查向量的数量积的几何意义.要求向量的投影,需先求两向量的夹角,而这可根据数量积的性质求得.解析设向量a与b的夹角为θ,则cosθ===-.∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=×=-.1.已知a=,b=,则=5,=,a·b=-7.2.已知a=,b=,c=,则a·=-3. 3.在四边形ABCD中,=1,2,=-4,2,则四边形ABCD的面积为CA.B.2C.5D.10解析∵·=1,2·-4,2=-4+4=0,∴⊥,∴S四边形ABCD=||·||=××2=
5.4.若a=2,3,b=-4,7,则a在b方向上的投影为AA.B.C.D.解析a在b方向上的投影为==.故选A1.设m,n是两个非零向量,m=x1,y1,n=x2,y2,则以下不等式与m⊥n等价的个数有D
①m·n=0;
②x1·x2=-y1y2;
③|m+n|=|m-n|;
④|m+n|=.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知向量a=k,3,b=1,4c=2,1,且2a-3b⊥c,则实数k=CA.-B.0C.3D.解析因为a=k,3,b=1,4,所以2a-3b=2k-3,-6又因为2a-3b⊥c,所以,2a-3b·c=0;所以22k-3+-6=0,解得k=
3.故选C.考点
1.平面向量的坐标运算;
2.平面向量的数量积.3.设向量a=-1,2,b=2,-1,则a·b·a+b=BA.1,1B.-4,-4C.-4D.-2,-2解析a·b·a+b=[-1×2+2×-1]-1+2,2-1=-41,1=-4,-4.故选B.4.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.解析由于a=e1+3e2,b=2e1,所以|b|=2,a·b=e1+3e2·2e1=2e+6e1·e2=2+6×=5,所以a在b方向上的射影为|a|·cos〈a,b〉==.答案5.已知a=,则与a垂直的单位向量坐标为________________________________________________________________________.答案或6.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.答案37.设向量a=1,2,b=x,1,当向量a+2b与2a-b平行时,a·b等于AA.B.2C.1D.解析a+2b=1+2x,4,2a-b=2-x,3.∵a+2b与2a-b平行,∴a+2b=λ2a-b.∴∴x=.故a·b=1,2·=1×+2×1=.8.已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=,e2=.1求a·b;2求;3求a与b的夹角的余弦值.解析1由e1=,e2=得a=3e1-2e2=,b=4e1+e2=,∴a·b=12-2=
10.2a+b=,∴=
5.3cos〈a,b〉===.9.已知向量a=,b=,1当x为何值时,使∥?2当x为何值时,使⊥?解析由a=,b=,得a+2b=,2a-b=.1∵∥,∴3-4=0,解得x=.2∵⊥,∴2-x+12=0,解得x=-2或x=.10.已知三个点A,B,D.1求证⊥;2要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.1证明由A,B,D,得=,=,又·=1×+1×3=0,∴⊥.2解析∵四边形ABCD为矩形,且AB⊥AD,∴=.设点C,则=,∴∴∴点C的坐标为.又=,=,∴·=8+8=16,而=2,=2,设与的夹角为θ,则cosθ===.1.注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联系.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.。