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2019-2020年高中数学
2.4向量的数量积练习(含解析)苏教版必修4前面我们学习过向量的加减法,实数与向量的乘法,知道a+b,a-b,λaλ∈R仍是向量,大家自然要问两个向量是否可以相乘?相乘后的结果是什么?是向量还是数?1.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量________叫做a与b的数量积,记作____________,即________________.答案|a||b|cosθ a·b a·b=|a||b|cosθ2.两非零向量a与b的夹角为θ,a在b方向上的投影为________,b在a方向上的投影是________,a·b的几何意义为__________________________________________________________.当θ为________时,b在a上投影为正;当θ为________时,b在a上的投影为负;当θ为________时,b在a上的投影为零.答案|a|cosθ |b|cosθ a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积 锐角 钝角 90°3.a,b同向时,a·b=______,当a与b反向时,a·b=________,特别地a·a=________.答案|a||b| -|a||b| |a|24.|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________.答案|a·b|≤|a|·|b|5.向量数量积的运算律为a·b=________;λa·b=________=________;a+b·c=________.答案b·a λa·b a·λb a·c+b·c6.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即若a=x1,y1,b=x2,y2,则a·b=________.答案x1x2+y1y27.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1,y
1、x2,y2,那么|a|=________________________________________,这是平面内两点间的距离公式.答案8.设a=x1,y1,b=x2,y2,则a⊥b⇔________.答案x1x2+y1y2=09.若a=x1,y1,b=x2,y2,a、b的夹角为θ,则有cosθ=________________.答案eq\fx1x2+y1y2\rx+y·\rx+y 数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,我们把|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积或内积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ0≤θ≤π.其中|a|cosθ|b|cosθ叫做向量a在b方向上b在a方向上的投影.特别提示1当0≤θ<时,cosθ>0,从而a·b>0;当<0≤π时,cosθ<0,从而a·b<0;当θ=时,cosθ=0,从而a·b=
0.2数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.这个投影值可正可负也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数. 数量积的性质及运算律1.数量积的重要性质.设a与b都是非零向量,e是单位向量,θ是a与e的夹角.1e·a=a·e=|a|cosθ;2a⊥b⇔a·b=0;3当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;特别地,a·a=|a|2或|a|==,a·a也可记作a
2.4|a·b|≤|a|·|b|.2.数量积的运算律.已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律1a·b=b·a交换律;2λa·b=a·λb=λa·b=λa·b数乘结合律;3a+b·c=a·c+b·c分配律.说明1当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=
0.2已知实数a、b、cb≠0,则ab=bc⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.3对于实数a、b、c,有a·bc=ab·c;但对于向量a、b、c而言,a·bc=ab·c未必成立.这是因为a·bc表示一个与c共线的向量,而ab·c表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以a·bc=ab·c未必成立. 向量的模设a=x,y,|a|2=a·a=x,y·x,y=x2+y2,故|a|=,即向量的长度模等于它的坐标平方和的算术平方根.设Ax1,y1,Bx2,y2,则=x2-x1,y2-y1,||=.即得平面上两点间的距离公式,与解析几何中的距离公式完全一致. 向量的夹角设a=x1,y1,b=x2,y2,其夹角为θ,则a·b=x1x2+y1y2或a·b=|a||b|cosθ=eq\rx+yeq\rx+ycosθ,故cosθ=eq\fx1x2+y1y2\rx+y\rx+y,当θ=90°时,cosθ=0,即x1x2+y1y2=0,所以a⊥b⇔x1x2+y1y2=
0.1.i,j是互相垂直的单位向量,a是任一向量,则下列各式不成立的是 A.a·a=|a|2B.i·i=1C.i·j=0D.a·j=a答案D2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于 A.-16B.-8C.8D.16解析∵∠C=90°,∴·=
0.∴·=·=+·=16,故选D.答案D3.已知|e1|=|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,则2e1-e2·-3e1+2e2= A.-1B.1C.-D.-解析∵|e1|=|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,∴2e1-e2·-3e1+2e2=-6e+7e1·e2-2e=-6+-2=-.故选C.答案C4.若a∥b,a⊥c,则c·a+2b= A.4B.3C.2D.0解析∵a∥b,a⊥c,∴c·a+2b=c·a+c·2b=0+0=0,故选D.答案D5.xx·湖北卷若向量=1,-3,||=||,·=0,则||=________.解析先判断△AOB是等腰三角形,再计算斜边长.由题意,并可知△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,且腰长||=||=,由勾股定理得||==
2.答案26.已知A-1,1,B1,2,C,则·等于________.答案7.设单位向量m=x,y,b=2,-1.若m⊥b,则|x+2y|=________.答案8.已知向量a=,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b等于________.答案9.已知△ABC中,=a,=b,a·b0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是________.答案150°10.定义|a×b|=|a|·|b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,求|a×b|.解析∵a·b=|a||b|cosθ=2×5×cosθ=-6,∴cosθ=-.又∵θ∈[0,π],∴sinθ=.∴|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×=
8.11.已知a、b是非零向量且满足a-2b⊥a,b-2a⊥b,则a与b的夹角是________.解析由于a-2b⊥a,b-2a⊥b,所以整理得又∵cosa,b===,∴a与b成的夹角为.答案12.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是________.解析方程有实根,∴Δ=|a|2-4a·b≥0,|a|2-4|a|·|b|cos〈a,b〉≥
0.∴cos〈a,b〉≤.∴〈a,b〉∈.答案13.已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,且3a+2b⊥ka-b,则实数k的值为________.解析由3a+2b·ka-b=3k|a|2-3a·b+2ka·b-2|b|2=0得12k-18=0,所以k=.答案14.xx·湖北卷设向量a=3,3,b=1,-1.若a+λb⊥a-λb,则实数λ=________.解析通过向量的线性运算列方程求解.由题意得,a+λb·a-λb=0,即a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得λ=±
3.答案±315.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=________.解析∵|a|=13,|b|=19,∴|a+b|2=a+b2=a+2a·b+b2=
242.∴2a·b=242-132-192=
46.∴|a-b|2=a-b2=a2-2a·b+b2=
484.∴|a-b|=
22.答案2216.已知|a|=3,|b|=5,|c|=7,且a+b+c=0,则a,b的夹角θ=________.解析∵|a|=3,|b|=5,|c|=7,且a+b+c=0,∴a+b=-c.∴a2+2a·b+b2=c
2.∴9+2×3×5×cosθ+25=
49.∴cosθ=.∴θ=60°.答案60°17.已知向量a,b,c两两所成的角相等且均为120°.且|a|=2,|b|=3,|c|=1,求向量a+b+c的长度.解析由已知向量a,b,c两两所成的角相等,均为120°,且|a|=2,|b|=3,|c|=
1.∴a·b=|a||b|cos120°=-3,b·c=|b||c|cos120°=-,a·c=|a||c|cos120°=-
1.∴|a+b+c|2=a+b+c2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2a·c=4+9+1-6-3-2=
3.∴|a+b+c|=.18.已知a、b是非零向量,当a+tbt∈R的模取最小值时.1求t的值;2求证b⊥a+tb.1解析|a+tb|====,当t=-=-时,|a+tb|有最小值.故|a+tb|取最小值时,t=-.2证明∵b·a+tb=b·a+tb2=a·b+·|b|2=a·b-a·b=0,∴b⊥a+tb.19.已知a为非零向量,向量a与b的夹角为120°,向量a-3b与向量7a+5b互相垂直,问是否存在实数λ,使得向量a-4b与向量λa-b互相垂直?解析∵a-3b⊥7a+5b,∴a-3b·7a+5b=
0.即7|a|2-15|b|2-16a·b=
0.
①假设λ存在,则由a-4b⊥λa-b得a-4b·λa-b=0,即λ|a|2+4|b|2-1+4λa·b=
0.
②又a·b=-|a||b|,
③令|a|=|b|,联立
①、
②、
③得|a|2=
0.∵a≠0,∴|a|
0.∴λ+4+=0,即λ=-.故存在实数λ=-,满足条件.20.已知△ABC是边长为2的正三角形,设=2,=3,求·.解析∵=2,=3,∴·=+·+=·=·+·+2+·=-·-·+2-·=-2×2×cos60°-×2×2×cos60°+×22-×2×2×cos60°=-2-+2-=-
1.。